当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设总体二阶矩存在,

是样本, 证明

则

由

因而

所以

,

2． 利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布则

【答案】二项分布因为而

的特征函数为, 所以当

时,

则

正是泊松分布的特征函数, 故得证.

3． 验证：正态总体方差（均值已知）的共轭先验分布是倒伽玛分布.

【答案】设总体玛分布

，其密度函数为

则的后验分布为

，其中已知，

为其样本，取

的先验分布为倒伽

其中

由于,

与

的相关系数为

【答案】不妨设总体的方差为

即

这就证明了倒伽玛分布是正态总体方差（均

值已知）的共轭先验分布.

4． 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p ，证明：此商场一天内购物的顾客数服从参数为

的泊松分布.

【答案】用Y 表示商场一天内购物的顾客数，则由全概率公式知，对任意正整数k 有

这表明：Y 服从参数为

5． 证明：对正态分布

的泊松分布.

若只有一个观测值，则

的最大似然估计不存在.

【答案】在只有一个观测值场合，对数似然函数为

该函数在

时趋于

这说明该函数没有最大值，或者说极大值无法实现，从而

的最大

似然估计不存在.

6． 设0

【答案】由条件

7． 设随机向量（X , Y ）满足

证明:【答案】由所以

得

试证：A 与B 独立.

再由上题即得结论.

8 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性:若随机变量．则

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是泊松分布

的特征函数, 由唯一性定理知

.

, 且X 与Y 独立,

二、计算题

9． 设随机变量

相互独立, 且都服从（

）上的均匀分布, 记

试求E （Y ）和E （Z ）. 【答案】记

的密度函数和分布函数分别为

则当0

所以

10．某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似地服从

【答案】记X 为考生的外语成绩，由题设条件知

知

即

因此查表知

的正态分布，已知96其中未知，但由题设条件

分以上的人数占总数的2.3%，试求考生的成绩在60分至84分之间的概率.

由此解得

从而得由此所求概率为