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一、综合题

1． 采用

窗口设计法

时，两个常用的窗函数及其特性如表所示（N 是滤波器冲激响应长度，

表

请回答下列问题：

（1）设计一只理想低通滤波器（截止频率频率位置处？（采样频率为） （2）采用其中的矩形窗设计

时，设计出滤波器通带最大波动为多少

？

【答案】（1）当理想低通滤波器出现通带的最大波动肩峰时其数字频率为：

又因为

则其对应的模拟频率为：

（2）通带最大波动

所以有：

若选用矩形窗，则

所以采用其中的矩形窗设计

2． 用频率抽样法设计一线性相位因果低通滤波器，N= 15, 幅频响应的抽样值为

（1）求相频响应的抽样值（2）求

及

【答案】（1）令 h （n ）的

DFT

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假设已知）：

赫兹）时, 它们通带的最大波动肩峰出现在什么模拟

可以从窗函数给定的阻带最小衰耗

中反推：

时，设计出滤波器通带最大波动为

的表达式。

又有

比较H （k ）的两个表达式，可以得到

现在来考察这个滤波器的频率响应属于4种情况中的哪一种。首先，N 为奇数；另外，如果奇对称， 应该有

将

代入，显然，当k=0时

但是根据已知条件，当k=0时

这就说明

应

该是偶对称的，于是应该属于情况1。 已经知道，对于情况1，应该满足

显然，题中所给的

是满足这样的对称关系的。另外，对于相频响应有

于是，相频响应的抽样值

（2）

由于当k=2, 3，…，13时

故也有

因此

所以

注：上面的推导用到了而

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其中

3． 有一线性非移变系统，其系统函数为：

（1）画出系统的极-零点图；

（2）研究极一零点图。根据三种可能的选择方案，讨论系统的因果性和稳定性。求出相应的单位取样响应

【答案】（1）根据题意，系统函数可化为为：

由上式可知系统的极点为：极-零点图如下图所示：

零点为：

图

（2）①设收敛域为

由于

所以系统是因果的。

由于单位圆不在收敛域内，所以系统不是稳定的。由（1）的部分分式形式的系统函数，可直接写出单位取样响应

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