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一、证明题

1． 设p 为正整数. 证明：若p 不是完全平方数，则是无理数.

【答案】反证法. 假设且n>1，

使得是

2． 设

且

是有理数. 由于P 不是完全平方数，于是存在两个互质的正数m ，n ，

由此得

是无理数.

由于

所以存在质数

于

于是

这与m ，n 互质矛盾，所以

是一个严格开区间套，即满足

证明：存在惟一的一点使得

是一个闭区间套. 由区间套定理知，

存在惟一的点

所

以

使得即

【答案】由题设知

，

又

因

3．

(1)

求证：

(2)

使得

【答案】(1) 利用拉格朗日中值定理，存在

(2) 设

. 所以

则有...

故有

4． 设常数A ，B ，C 满

足

变为方程

程

的两个不同实根.

【答案】由已知得关系式

于是

同理

将其代入方程中整理得

由已知条件，原方程变为

所以有

由为方程

知，一元二次方程

有两个不等的实根，而由前两个方程知

结论得证.

，且线性变

换

其中u (x ，y ) 具有二阶连续偏导数. 证明：

把方

程

为方

的两个根，由第三个不等式知

二、解答题

5． 证明下列结论：

（1）

设

则

在

在

上可积；

在[0, 1]上可积。

存在

的某一分割在

上的可积函数

使得

上有定义，

且. 存

在上的可积函

数使

得

（2）函数【答案】（1

）

可积，所以存在的振幅。设

为f

使得

其中是

在小区间

因为上

上的振幅，则对分割T 有

所以

在

上可积。 在

上有无穷多个间断点

：

与

将区

|'1

分

（2

）易知

成两个区

间上有界，所以

和

. 因为在

所以在上只有有限个间断点，又存在

的分割

使得

在

把

上可积，于是对上述的分割则有

与合并构成

即

在

上可积。

在区间

上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什

上连续，在区间

内可导

6．

试问函数么？

【答案】显然，f （x ）和g （x ）在区间不能应用柯西中值定理得到相应的结论.

7． 计算第一型曲线积分

【答案】方法一写出曲线的参数方程：

因为

所以

方法二由对称性可知，只需考虑沿上半圆周

的积分，这时

所以

所以，柯西中值定理的第3个条件（不同时为零）得不到满足，