2017年北京市培养单位数学科学学院616数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 求证：
(1) (2)
【答案】(1) 已知序列
严格递増，且
又设再根据
显资
项的平均值不等式，有
联合
与
式即得
(2)
记
由第(1) 小题结论，有
再由第(1) 小题结论，有
即有下界，从而极限
存在.
2． 用确界原理证明有限覆盖定理。
【答案】构造集合H
覆盖闭区间
所以存在一个开区间
能被H 中有限个开区间覆盖. 明显，S 有上界. 又因为
使
取
由确界原理可知，
存在
知，必存在
矛盾. 因此
使
则
即
下面证明取和
加上，就得到
能被H 中的有限个开区间覆盖.
从而
即
用反证法. 若
则由H 覆盖闭区间使
则
所以
也能被H 中有限个开区间所覆盖，所以
这与
能被H 中有限个开区间覆盖，把
所以定理结论成立。
3． 设A 、B 皆为非空有界数集，定义数集
(1)
. (2
)
【答案】(1) 对任意的
因此
对于任意正
数
，故
(2) 同理可证.
4． 设
在
上有
阶导数且
及
. 存
在
即
存在
是A+B的一个上界.
使
得
使得c=a+b, 则设
证明：
于是并
且
于是
，
由微分中值定理
求证：【答案】将
.
在a 点作带有佩亚诺型余项的泰勒展开
对
在a 点作同样的展开，有
将上式代入式(1) 可得
比较式(2) 、式(3) ，且有故
则
二、解答题
5． 求下列不定积分：
【答案】⑴（2）
（3）原式:
6． 变换比行列式
【答案】方法一把x , y 写成u ，v 的函数：
所以
逆变换的雅可比行列式为
y 或u ，v 时，方法二 若变换不易解出x ，我们只能用隐函数求偏导数方法来求雅可比行列式，一般来说所得行列式可以含有变量x , y ，u ，v 。方程组先对u 求偏导数，得
解出
再对v 求偏导数，得
解出
所以
7． 求由曲线
与坐标轴所围图形的面积。
和
所围图形的面积为
把区域变为区域试求雅可
【答案】如图所示，曲线与x 轴、y 轴的交点为