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一、证明题

1． 设f 在

【答案】(1) 设是，当

时，有

上连续，且

则对于

存在. 证明：f 在存在正数

上有界. 又问f 在使得当

时有

上有界.

在上无最大值.

上连续，

且有

在

时，有

上必于

上也连续. 于是，

对一切

有最大值或最小值吗？

因为f 在即f

在

(2) f

在

但f (x ) 在

2． 设f (x ) 在

上连续

，

绝对收敛，证明：

【答案】因为因为

绝对收敛，当n 足够大的时候

由于的任意性，所以命题成立.

3． 设f 是以2π为周期的可积函数，证明对任何实数c ，有

【答案】令

则

同理可证

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上连续，所以f 在闭区间

根据连续函数的有界性知，存在正数G ，

使得当

上不一定有最大值和最小值.

例如

上无最小值. 而

连续，所以当n 足够大的时候

4． 设f 在

存在

最小值定理知

若若

则

上连续，且对任何使得

在

上连续可知

命题得证.

使得

这与m

是

在

上的最小值矛盾. 于是

即存在

使得

在

上也连续. 由连续函数的最大、

上有最小值. 设这个最小值为

存在.

使得

【答案】由f (x ) 在

由题设知存在

二、解答题

5． 试写出单位正方体为积分区域时，柱面坐标系和球面坐标系下的三重积分的上下限.

【答案】在柱面坐标系下，用示为

的平面截立方体，截口是正方形，因此，单位立方体可表

在球面坐标系下，用

的平面截立方体，截口是长方形，因此单位立方体可表示为

其中

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6． 计算积分

【答案】因为

所以

而

一致收敛，因此

7． 重排级数

【答案】注意到

使得

存在

使得

如此下去，

存在

因

及

使得

这样得到一个重排的级数

及

. 均是发散的正项级数，从而存在使它成为发散级数.

使得

存在

发散，可得此重排级数必发散.

8． 求下列幂级数的收敛半径及其和函数

.

(提本：【答案】(1)

设

故收敛域为设

故

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)

则

故收敛半径为1，

又

时级数收敛，

且