2017年北京师范大学研究生院珠海分院873数学(线性代数数学分析)[专业硕士]考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设x=x(y ，z ) ，y=y(z , x ) ，z=z(x , y ) 为由方程F (x , y , z ) =0所确定的隐函数. 证明：
【答案】由隐函数定理知
所以得
2． 设
证明:【答案】因为连续，从而
故本题等价于证明
D.
因为
在[0, 1]上一致收敛于f (x ) , 所以对任意的
有
即
3． 设p (x ) 为多项式
【答案】因为
为于是
的r-l 重实根 证明
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是[0, 1]上连续函数，且在[0, 1]上一致收敛于
>是[0, 1]上的连续函数，且在[0, 1]上一致收敛于
所以f (x ) 在[0, 1]上
存在
使得
从而对任意的
从而结论得证. 为
的r 重实根. 证明必定是的r 重实根，所以
的r-l 重实根. 其中q (x ) 为多项式，且
又因
4． 设
在区间上有界，记
故是
【答案】
对
而
因为
即
是使得
所以有
|的一个上界.
同理
使得.
所以
从
对由知：
综上所述：
二、解答题
5． 讨论下列无穷积分的收敛性：
【答案】（1）
由柯西判别法知，由柯西判别法知
由柯西判别法的推论2知
，由柯西判别法知，
（5）当敛。
当（6）当且仅当当
，
时
. 时，积分
收敛.
对于
收敛。
时.
收敛. 否则，发散。
时，
故此时
对汙
由于
发散。 由于
故
故当且仅
时.
收敛。
收敛。
发散。
收敛。
故此时
收
综上所述，当且仅当
6． 设函数f (x ) 和g (x ) 在[a, b]上可积，则
【答案】
因
则
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7． 设
其中A ，a ，b 为常数，试问A ，a , b 为何值时，【答案】.
故要使
又
要使有导数存在，必须b=0.
处可导? 为什么？并求
存在，必须A=0.
综上可知，当A=b=0为任意常数时，f （x ）在z=0处可导，且
8． 用极坐标计算下列二重积分
【答案】⑴
(2) 应用极坐标变换后积分区域
从而
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