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一、证明题

1． 设级数

满足:加括号后级数

符号相同，证明

【答案】因为所以

设故

又当

存在，即

时必有

从而

收敛，实际上两级数收敛到同一个数.

2． 用确界原理证明有限覆盖定理.

【答案】构造集合H 覆盖闭区间即

.

用反证法.

若使

3． 设f （x ）在

,

则则

, 由H

覆盖闭区间,

所以

这与

知,

必存在

矛盾. 因此

使

取

和

能被H 中有限个开区间覆盖,

把

. 加上,

就得到

, 所以存在一个开区间

能被H 中的有限个开区间覆盖. 从而

能被H 中有限个开区间覆盖}.明显, S 有上界. 又因为

, 使,

即

. 取

. 由确界原理可知, 存在

, 则

,

下面证明

则

收敛（m1=0）, 且在同一括号中的

亦收敛. 收敛，所以其中

又因为括号内符号相同，

存在. 又对任意的n ，存在k ，使得

也能被H 中有限个开区间所覆盖, 所以所以定理结论成立.

. 若

上有一阶连续导数, 且f （0）>0,

, 证明:

.

, 有

【答案】,

由

对其取极限可得

由已知条件有

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4． 证明:若f 在点x 0连续, 则必连续？

【答案】因为f （x ）在

点x 0连续, 所以对任给的时,

（1）由不等式故（2）由（3）当

. 即

知, 由在点x 0连续.

在点x 0连续.

, 则

与

为

时,

, 而|f|在x 0连续, 故

存在

, 使得当

与也在点x 0连续.

又问:

若

或在Ⅰ上连续,

那么f 在Ⅰ上是否

或在I 上连续时, f 在I 上不一定连续. 例如,

常值函数, 在R 上处处连续, 但f （x ）在R 上处处不连续.

5． 证明:

（1）方程. （2）方程【答案】

（1）

令的开口向上, 于是不同的实根得

（2）令

, 并且

根据罗尔中值定理, 存在为

是奇次方程

（ii ）设n 为正奇数. 如果方程在根

6． 证明:若S 为封闭曲面, l 为任何固定方向, 则

【答案】设n 和l 的方向余弦分别是由第一、二型曲面积分之间的关系可得

（这里c 为常数）在区间内不可能有两个不同的实根；

（n 为正整数, p 、q 为实数）当n 为偶数时至多有两个实根；

, 则, 则, 则

,

使得

, 但这是不可能的

. 因

. 故方程

, 它在实数集

R 上有且仅有一个实根

. 当

由方程

得

, 抛物线

, 使

时

,

, 使得

当n 为奇数时至多有三个实根.

在区间（－1, 1）内恒为负. 用反证法证明原命题. 如果在区间[0, 1]内有两个

由罗尔中值定理知, 存在

时, 显然成立;

当

在区间（

0, 1

）内不可能有两个不同的实根. 有三个以上的实根, 则存在实数

不妨设

, 但这是不可能的

. 所以方程（i ）设

n 为正偶数.

如果方程

当n 为偶数时至多有两个实根.

有四个以上不同的实根, 则根据罗尔中值定理, 存

但这是不可能的. 因为

是偶次方程

当n 为奇数时至多有三个实

, 使得

并且

, 它在实数集R 上最多只有两个实根. 故方程

其中n 为曲面S 的外法线方向. 和

, 则

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由l 方向固定,

都是常数, 故

, 由高斯公式得

7．

证明

:f （x ）为区间I 上凸函数数.

【答案】

:及

, 由f （

x ）的凸性知

所以有

即

故f （x ）为I 上的凸函数.

8． 设函数f 在区间I 上满足利普希茨（

Lipschitz ）条件, 即存在常数L>0, 使得对I 上任意两点

都有

证明:f 在I 上一致连续. 【答案】对任给的故f 在I 上一致连续.

取

, 则当

且

时, 有

为[0, 1]上的凸函数.

.. 及

, 因为函数

为[0, 1]上的凸函数,

所以

函数

为[0,

1]上的凸函