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一、解答题

1． 求曲线

绕直线

旋转所成的曲面的表面积.

则曲面的表面积为

【答案】这是星形线, 充分考虑到对称性

2． 设函数z=z（x , y ）是由方程组. 时的dz.

【答案】

因

3． 设

（1）求证:【答案】（1）令

则

同理

所以

（2）

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（u , v 为参量）所定义的函数, 求当u=0, v=0

所以当u=0, v=0时dz=0.

.

,

;

（2）f （r ）是什么函数时,

要使

只要

所以

（c 为任意常数）时

4． 设在坐标轴的原点有一质量为

m 的质点

,

在区间试求质点与细杆之间的万有引力.

【答案】如图所示, 距原点

x 处, x

与

之间的质量产生的引力为

故

图

5． 设

, 求证递推公式:

【答案】因为

所以

6． 求圆的渐伸线（a , 0）与终点B

【答案】方法一:如图所示:

和连接两个端点:起点A

的直线段AB 所围成图形的面积, 并求渐伸线的弧长

.

（a>0）上有一质量为M 的均匀细杆.

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图

所围图形面积为

方法二:

的面积 的面积

,

即得

方法三:用极坐标

.

向径0B 的极角

当

时,

.

|的面积, 其中

又

>

于是

因为

所以弧长为

为曲线的极坐标方程

,

为

二、证明题

7． 用定义证明:

【答案】先写出当

具体到本题, 由于

第

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的精确数学定义.

和

时, 有

,