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一、证明题

1． 设f 在

=f （1）. 证明:对任何正整数n , 存在上连续, f （0）

, 则有

, 则有

若证.

若其中

的存在定理知, 存在一点

使得

故对任何正整数n , 存在

2． 设f :

2

, 使得

, 命题得证.

【答案】当n=1时, 取当n>1时, 令

中有一个为0, 设全不为0, 则必存在两点, 使得

在

, 则令

,

, 有, 命题得

上连续, 因而F （x ）在上也连续. 由根

使得

均有界. 证明:

2

是连续映射, 若对R 中的任何有界闭集K ,

, 并设

2

2

是闭集.

. 记

【答案】任取点列, 欲证f （R ）是闭集, 只需证明

, 使得,

即可. 事实上, 由f 是R 到R2的映射知, 对每一个Q n , 相应地存在

显然它是有界闭集.

由

由已知条件, 收敛子列

再由

满足

及f 的连续性, 令|可知

, .

, 当

n>N

时

,

, 相应

地

存在.

是有界集, 所以

. , 可得

是有界点列. 由致密性定理

,

. 注意到

, 故

3． 设f （x ）在[0, 1]上连续可导, f （0）=f（1）=0, 证明:

（1）存在c>0, 使

（2）c 的最小值为.

【答案】（1）将f （x ）在[0, 1]上展开成正弦级数

则

由巴塞伐尔等式得

故

由此可见, 只要变成等式,

故c 的最小值为

.

发散的充要条件, 并用它证明下列数列{u}是发散的:

（3）

. 对任意的正整数N , 取

发散.

对任意的正整数N , 取

则有

并且

故数列（3）取故数列

发散.

对任意的正整数N , 取发散.

则有

则有

并且

故数列（2）取

对任意的正整数N , 都存在正整

数

4． 按柯西收敛准则叙述数列

（1）

【答案】数

列

使得

（1）取

（2）

, 上述不等式总成立.

时, 式（1）

（2）为求c 的最小值, 必须求f （x ）使式（1）中等号成立. 易见, 当

发散的充要条件是:存

在

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5． 求证:序列

【答案】对

, 只要

发散.

及p=n, 便有

二、解答题

6．

判别下列级数的收敛性:

【答案】（1

）达朗贝尔判别法, 因为

所以

不存在.

-显然发散.

, 由柯西判别法知此级数收敛. 本题不能应用

⑵当a=1时, 级数当0

级数收敛.

当a>1时, 因为

所以根据柯西判别法知级数收敛.

7． 计算曲面积分所围的立体的表面的外侧.

【答案】设S 1, S 2, S3分别为S 的上、下底面和圆柱侧面, 则

记S 1+S2在xOy 平面上的投影区域为D xy , 则

在S 3上,

而S 3在yOz 平面上的投影区域D yz :

, 其中S

是曲面及两个平面z=R, z=-R （R>0）

故