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一、证明题

1． 设函数f 在（a , b）内可导, 且单调. 证明在（a , b ）上连续.

【答案】

设在

内递增且以

极限定理知,

因为f （x ）在x 0可导,

所以知, 2． 设

在（a , b ）内连续 在

上连续,

绝对收敛, 证明:

【答案】因为因为

绝对收敛, 当n 足够大的时候

由于的任意性, 所以命题成立.

3． 设f 是定义在

上的一个连续周期函数, 周期为p , 证明

【答案】

及

, 使得

. 于是由周期函数的积分性质, 得

因

及

.

于是

, 由x 0的任意性

在（a , b ）内递增.

设

, 则

在某个

内递增且以和。

为上界,

为下界. 根据单调有界定理知, 极限

都存在. 再由导数

连续, 所以当n 足够大的时候

所以

4． 设平面区域D 在x 轴和y 轴的投影长度分别为L x 和L y , D 的面积为明

（1

）（2）因此

（1）

（2）

考虑

令

则所以

由于

, 因此

. 所以

, 同理可证

5．

设

为

内的有界函数. 证明:

【答案】因为

在

内有界, 则存在

使得

. 对任意

利

在

内一致连续当且仅当

其中

, 得到

, 记

并且

,

为D 内任一点, 证

【答案】

设D 在x 轴和y 轴上的投影区间分别为[a, b]和[c

, d].

用拉格朗日中值定理, 得

其中介于

和

之间, 显然有

于是有

由此可知连续当且仅当,

在

内一致连续当且仅当结论得证.

在

内一致连续,

在

内一致

二、解答题

6． 设f （x ）在

【答案】由条件得

即 7． 求

（a 为常数）.

时,

（2）当

时,

故

8． 求下列函数的导函数

:

（1）（2）【答案】（1）当x=0时,

故

. 综上所述

上连续, 且满足条件.

求证:f （x ）为一常数.

.

【答案】（1）当

;

'

当

时,

; 当

时,

.