2018年上海交通大学理学院(数学系)614数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设f 为定义在
上的连续函数, a 是任一实数,
证明E 是开集, F 是闭集. 【答案】对任一点存在
的某邻域
故E 为开集. 下证F 是闭集.
设
是F 的任一聚点, 则存在F 的异点列
使
且f （x , y ）在P 0连续,
从而
2． 证明:若f 在点x 0连续, 则必连续？
【答案】因为f （x ）在点x 0连续, 所以对任给
的时,
（1）由不等式故（2）由（3）当
. 即
知, 由在点x 0连续.
在点x 0连续.
, 则
与
为
时,
, 而|f|在x 0连续, 故
存
在
, 使得
当
可见
与也在点x 0连续. 又问:若
故F 为闭集.
或在Ⅰ上连续, 那么f 在Ⅰ上是否
由
使当
因为f 在R 连续, 从而由连续函数的保号性知,
时
即
从而
2
或在I 上连续时, f 在I 上不一定连续. 例如,
常值函数, 在R 上处处连续, 但f （x ）在R 上处处不连续.
3． 证明:若
【答案】
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存在, 则
4． 证明下列级数的收敛性，并求其和:
（1）（2）（3）（4）（5）
【答案】 （1）
所以原级数收敛，且和数（2）
所以原级数收敛，且和数（3）
所以原级数收敛，且和数
（4）
，所以原级数收敛，且和数
（5）考察
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两式相减得
故原级数的前n 项和
，所以原级数收敛且和数
5． 设f （x ）在（a , b ）内可导
,
使得
且
【答案】取y>0足够大, 使得
则有
再由拉格朗日定理,
使得
联合（1）式与（2）式, 即得 6． 设
, 证明:
【答案】原不等式等价于
取的凸函数. 若记
即
亦即
, 则由
, 由凸函数的性质
f x ）可知, （是
上
, 且
. ’, 求证:
,
二、解答题
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