2017年北京市培养单位高能物理研究所601高等数学(甲)考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1．
设
为曲线
上相应于t 从0变到1
的曲线弧。把对坐标的曲线积分
化成对弧长的曲线积分。
【答案】方向余弦为
从而
2． 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20m ，较长的底边和水面相齐。计算闸门的一侧所受的水压力。
【答案】如图建立坐标系，则过A 、B 两点的直线方程为的变化范围为[-20, 0]，对应小区间[y，y+dy]的面积近似值为因此水压力为
，取Y 为积分变量，Y
，γ表示水的密度，
，注意到参数t 由小变到大，因此的切向量的
图
3． 设有界区域分
由平面2x+y+2z=2与三个坐标平面围成，为
.
整个表面的外侧，计算曲面积
【答案】所求积分满足高斯公式条件，
4． 设螺旋形弹簧一圈的方程为
，求：
（1）它关于z 轴的转动惯量I z ； （2）它的质心。 【答案】（1）
，所以
，其中，它的线密度
（2）设质心位置为
。
由
于
因此
同理
5． 从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗（如图所示）。问留下的扇形的中心角取多大时, 做成的漏斗的容积最大?
【答案】如图, 设漏斗的高为h , 顶面的圆半径为r , 则漏斗的容积为故
令当
, 得
时,
, 故V 在
内单调增加; 当
为极大值点, 又驻点惟一, 从而时, 做成的漏斗的容积最大。
时,
, 故V
在
, 又
内单调减少。因此
也是最大值点, 即当
取
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