2017年北京市培养单位高能物理研究所601高等数学(甲)考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 已知点A （1，0，0）及点B （0，2，1），试在z 轴上求一点C ，使△ABC 的面积最小.
，由向量的几何意头知
【答案】所求点位于z 轴，设其坐标为C （0，0，z ）
而
故设当时，
2． 当
，
则由
时，△ABC 的面积取得极小值，由于驻点唯一，故当最小. 时，
与
相比，哪一个是高阶无穷小？
，所以当
时
，
得
.
因
，故
，即C 的坐标为（0, 0，）
【答案】因为比
3． 试决
【答案】
令当当当由
, 得
。
时, y 〞>0, 因此曲线在时, y 〞>0, 因此曲线在
上是凹的; 上是凹的,
高阶的无穷小。
中k 的值, 使曲线的拐点处的法线通过原点。
时, y 〞<0, 因此曲线在[一1, l]上是凸的;
从而知（一l , 4k ）, （l , 4k ）为曲线的拐点。
知过点（一1, 4k ）的法线方程为
要使该法线过原点, 则（0, 0）应满足这方程, 将x=0, y=0代入上式, 得
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4．
设
是
上从
取得最大值。
到的一段曲线，求a 的值，
使曲线积分
【答案】设与则
所围区域为D ，如图所示，在D 上应用格林公式，记
令故
。
得唯一驻点
，由于
，所以
为极大值，即最大值，
5． 设有摆线
试求：
（1）L 绕x 轴旋转一周所得旋转面的面积； （2）L 上任意点处的曲率； （3）L 与x 轴所围平面图形的形心【答案】（1）由于则该旋转面的面积为
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。
，
由曲率公式，L 上任意点处的曲率为
（3）由平面图形的形心公式，有
当
时
对应
，相应地
，则
因此
。
。
由对称性知，x=0。故求平面图形的质心为 6． 设
向导数，并分别确定角
【答案】
，求函数
在点（1，1）沿方向l 的方
，使这导数有（1）最大值；（2）最小值；（3）等于0.
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