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2017年北京市培养单位动物研究所602高等数学(乙)考研题库

  摘要

一、计算题

1. 设函数f (x )和g (x )均在点x 0的某一邻域内有定义,f (x )在x 0处可导,f (x 0)=0,g (x )在x 0处连续,试讨论f (x )g (x )在x 0处的可导性。

【答案】由f (x )在x 0处可导,且f (x 0)=0,则有

由g (x )在x0处连续,则有故

即f (x )g (x )在x 0处可导,其导数为f’(x 0)g (x 0)。

2. 求螺旋线

【答案】由曲线的直角坐标方程为

由方程为

由方程为

,故该螺旋线在xOz 面上的投影曲线的直角坐标

,故该螺旋线在yOz 面上的投影曲线的直角坐标

在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.

,故该螺旋线在xOy 面上的投影

3. 根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性:

【答案】设级数的部分和为S n 。 (1)因为

所以根据定义可知级数(2)由于

发散。

从而

所以根据定义可知级数收敛。 (3)由于

从而

因为当(4)

4. 设螺旋形弹簧一圈的方程为

,求:

(1)它关于z 轴的转动惯量I z ; (2)它的质心。 【答案】(1)

时,

的极限不存在,所以S n 的极限不存在,即级数发散。

因,其中

故级数发散。 ,它的线密度

(2)设质心位置为。

因此

同理

5. 单调函数的导函数是否必为单调函数? 研究下面这个例子:

【答案】单调函数的导函数不一定是单调函数。例如函数

,

在任何有限区间内只有有限个零点。因此函数f (x )在

内却不是单调函数。

内为单调增加函

数。但它的导函数

,

由于