2017年北京市培养单位高能物理研究所601高等数学(甲)考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设面密度为常
量质量的质点的引力F 。
【答案】如图所示，引力元素dF 沿x 轴和z 轴的分量分别为
的质量均匀的半圆环形薄片占有闭区
域
，求它对位于z 轴上点
处单位
图
和
于是
由于D 关于x 轴对称，且质量均匀分布，故
，因此引力
2． 试决定曲线
点, 且点（-2, 4, 4）在曲线上。
【答案】根据题意有
即
中的a , b , c , d , 使得x=-2处曲线有水平切线, （1, -10）为拐
解此方程组得a=1, b=-3, c=-24, d=16。
3． 求由抛物线
与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。
，设过焦点的直线为y=k（x-a ），则该直线与抛物线的交点的【答案】抛物线的焦点为（a , 0）纵坐标为
，
，面积为
故面积是志的单调减少函数，因此其最小值在
4． 求下列函数所指定的阶的导数:
求
求
【答案】（l ）利用莱布尼茨公式
其中
。
，即弦为x=a时取到，最小值为。
（2）由
及布莱尼公式
5． 计算域。
【答案】解法一：由
与
消去Z ，得
故
在
面上的投影区域
于是
，其中是由锥面与平所围成的闭区
（图）则