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一、证明题

1． 证明:若f 及其导函数均在则

【答案】由

为f （x ）的傅里叶系数,

为

的傅里叶系数, 依题意, 有

因为f

及在

上成立帕塞瓦尔等式, 所以

所以

2． 设f 在

=f （1）. 证明:对任何正整数n , 存在上连续, f （0）

, 则有

, 则有

若证.

若其中

的存在定理知, 存在一点

全不为0, 则必存在两点, 使得

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上可积, 且成立帕塞瓦尔等式,

, 使得

, 命题得证.

【答案】当n=1时, 取当n>1时, 令

中有一个为0, 设, 则令

,

, 有, 命题得

在上连续, 因而F （x ）在上也连续. 由根

使得

故对任何正整数n , 存在 3． 设

, 在

上有连续导数, 且

当x 充分大时, 有又由

4． 设{an ）为实数列, 它满足不等式

【答案】由条件

知

将以上各式乘2后相加得

因为级数同理

于是

, 故

5． 设

, 证明

令于是

6． 证明反常积分

【答案】因为

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使得 , 试证:

在

内仅有一个零点.

【答案】对任意

在

内有且仅有一个零点. , 又级数

收敛. 证明:

知

在

上严格单调递增, 所以

,

, 所以由连续函数的零点存在定理知, 存在

收敛, 所以. , 由迫敛性知'

【答案】原不等式

, 则

, 从而原不等式成立.

, 故f （x ）在（0, 1）上单调递减.

是收敛的.

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所以只需证明记

收敛即可.

则对任意

在

上单调递减,

并且

收敛, 故

收敛.

由狄利克雷判别法可知

7． 证明曲线积分的估计式

:利用上述不等式估计积分

【答案】因为

, 其中L 为AB

的弧长

, 并证明

.

,

并

这里又

为曲线AB 上任一点的切向量的方向余弦; 有

圆的参数方程为

, 而

从而

8． 设f :

, 故由迫敛性知

•

, 均有

.

试证明:（1） f 是上的一一映射; （2

）对一切【答案】（1）任取所以（2）所以

. 因为

, 即f 是上的一一映射. , 因为f 在x 0处可微, 即

使

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, 于是

可微, 且在上连续

, 若存在常数c>0, 使对一切

.