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一、证明题

1． （1）设

（2）设【答案】（1）令

则

则由于且（2）令

有下界, 又

在

上单调递减, 则

收敛,

两边取极限得则

其中,

在

上非负递减, 证明

时

有极限L , 且

, 证明数列

收敛.

从而单调递减, 从而由单调有界定理得

由（1）知道可知

是

的瑕点, 当

时,

收敛, 令

,

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而收敛, 所以收敛. 因此, 数列收敛.

2． 证明定理: 数列

收敛于a 的充要条件是:

的极限是

1.

为无穷小数列.

于是, 对任意收敛于a.

时,

即

存在N , 使得

当

存在N , 使

并应用它证明数列【答案】（1）充分性, 设得当

时

,

必要性, 设数列

于是, 数列（2

）因为

收敛于0, 即

即

为无穷小数列, 则

按照数列收敛的定义, 数列

收敛于a , 那么, 对任意

为无穷小数列.

是无穷小数列, 所以

3． 设函数f

在点a

处具有连续的二阶导数. 证明:

【答案】两次应用洛必达法则得

4． 设

为n 个正数, 且

证明:

【答案】（1）由洛必达法则得

于是,

（2）设

, 有

因为

, 由迫敛性知

,

证明g 为连续函数.

, 则

5．

设函数f 只有可去间断点, 定义

【答案】设g 的定义域为D ,

时,

即

. 对于任给的; 设

, 存在, 由

, 使得当知g

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（x ）的值由f （y ）在邻域性和

得

的值决定, 而在

即当

上

时,

由保不等式故g （x ）在

x 0连续. 由x 0的任意性知, g （x ）在D 上连续.

6． 证明:若为递增（递减）有界数列, 则

【答案】（1）若的此,

（2）若在N , 使得以对一切

因此

存在N , 使得

为递减有界数列, 根据确界原理,

因为

是递减的, 所以当于是, 当n>N时.

有下确界. 令时,

即

上界, 所以对一

切

为递增有界数列, 根据确界原理,

因为

是递增的, 所以当于是,

当

时

,

时,

又问逆命题成立否? 有上确界. 令

即, 则对任给的又因为a 是

这个数列则对任给

又因为n 是

的. 因存

的下界, 所

（3）逆命题不成立, 一个收敛到确界的数列, 不一定是单调数列,

例如收敛到它的上确界1, 但 7． 设

（1）（2）若

【答案】（1）因为于是当

时, 有

其中存在正整数

使得当

时, 有

取

则当

时, 有

故

由这个等式不能推出

例如

不是单调数列.

证明:

（又问由此等式能否反过来推出则

所以对于任意的

存在正整数

, 当

时, 有

）;

. 又因为所以对上面的

但不收敛.