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一、解答题

1． 设f （x ）在[a, b]上连续, 且有惟一最小值点x 0. 若

【答案】假设

仍记为

,

使

则

在. 显然

中可选取子列

且

, 满足于是

,

这与最小值点的惟一性矛盾.

2． 求由抛物线

与

所围图形的面积.

由于这个子列有界, 由致密性定理, 可从它中再选取一个收敛子列,

.

【答案】该平面图形如图所示. 两条曲线的交点为（-1, 1）和（1, 1）, 所围图形的面积为

图

3． 设某流体的流速为V= （k , y , 0）, 求单位时间内从球面

【答案】设流量为E , 则

（其中

利用球坐标变换计算）

. 有

的内部流过球面的流量.

4． 设f （x ）在R 上二次可微, 且

（1）写出（2）求证:对

, 有

关于h 的带拉格朗日余项的泰勒公式;

;

（3）求证:

【答案】（1）

（2）将第（1）小题得到的两个泰勒公式相减, 得

由此, 利用条件

, 即得

（3）设

, 则有

其中等号当

时, 即当

时成立. 将此h 值代入（1）式, 即得

5． 设

其中f （x ）为可微函数, 求

.

【答案】由于函数（x —yz ） f （z ）与

在定义区域内连续, 所以

同理

6． 讨论下列函数列在所示区间D 上是否一致收敛或内闭一致收敛, 并说明理由:

（1） （2）.

（3）

（4）

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（5

）

【答案】（1）任意

设

则

所以在D 上一致收敛, 且

设

则

（2）任意

故从而（3）由

表达式可知

在D 上一致收敛, 且

当x=0

时,

则有

, 所以

当0

故显然,

对（i ）因此„（ii ）所以

闭一致收敛.

（5）任意给定的（

1）所以（ii ）

在

考虑区间

不妨设

时,

（4）任意给定的X , 有

从而

则

在

设

所以

上不一致收敛. 时,

在[0,

1）上不一致收敛.

上也不一致收敛, 即不内闭一致收敛.

上一致收敛且

由（ii

）知

时.

故

但由（i ）知

在

所以

在

在上内

考虑区间[﹣1, 1]时,

上不一致收敛.

上内闭一致收敛.