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一、证明题

1． 设f ，g 为D 上的非负有界函数. 证明：

(1) (2)

【答案】(1) 对任意

于是

所以

(2) 对任意

于是

所以

2． 证明:若f 在

上连续，

则对任何自然数n

,

【答案】令显然

在上述小区间上连续，且

若分点若不然，

则由

中有一个使

则命题得证.

可知，上述被加项中必有两项异

将[0，1]区间n 等分：

使得

号，在它们所构成的区间上应用连续函数根的存在定理即知结论成立.

3． 设

在上二次可微，且

证明:【答案】

及任意的实数h ，由泰勒公式，有

将上两式相减得

所以

固定h , 对上式关于x 取上确界，可得

上式是关于h 的二次三项式，由其判别式

4． 证明公

式

【答案】因

则由第一、二型曲面积分的关系及高斯公式可得

而

其中S 是包围V 的曲面，n 为S 的外法线方

向

可得

因此公式成立。

5． 设

在区间上有界，记

因为

即

对

由

知

：

是使得

证明

所以有

|的一个上界.

同理

使得.

所以

从

【答案】

对

而

综上所述：

6． 证明级数

【答案】因为所以

当

时，数

列收敛. 因为

条件收敛.

所以该级数为交错级数. 令

单调递减，

且

则

由莱布尼茨判别法知级

数

而

发散，所以

发散. 故原级数为条件收敛.

二、解答题

7． 通过对积分区间作等分分割，

并取适当的点集计算下列定积分：

【答案】（1）因

记其分割为

在取

上连续，所以为区间

在

上可积. 对

进行n 等分，得

，有

（2）同（1）

（3

）由

则

在

上连续知

，

在

上可积，

对

进行n 等分，

记其分割为

的右端点，

把定积分看作是对应的积分和的极限，来

取为区间

的右端点，得