2017年南京航空航天大学理学院601数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明：为Ⅰ
上凸函数的充要条件是对任何
凸函数。
【答案】充分性，设
为
上的凸函数，则对任何的
及
故
为Ⅰ上的凸函数。
为I 上的凸函数，则对任何的
及
有
必要性，设
有
函数
为
上的
故 2． 证明
【答案】
将
是
故
即
3． 设在
【答案】由即在
在
上连续，且
证明
当
时，有
内有界，又由上有界. 设
将
在
上连续知，分拆成两项
在
上有界.
综合上面可得
从而
作偶延拓到
上，
再在
外作周期延拓，于
为
上的凸函数。
知，对于数1，存在
其中第一项当时必趋于零. 事实上
对第二项使用第一中值定理，存在由于故证得
4． 设f 为[-a，a]上的奇(偶) 函数. 证明：若f 在[0, a]上增，则f 在[-a, 0]上增(减) .
【答案】
设
如果f 为奇函数，则
即f 在即f 在
5． 证明:
(1) 可导的偶函数，其导函数为奇函数； (2) 可导的奇函数，其导函数为偶函数； (3) 可导的周期函数，其导函数仍为周期函数. 【答案】(1) 设f (x ) 为偶函数，则对任意
有
设I
则
故
是奇函数.
有
设
则
故
是偶函数.
故
使
从而
时，所以
则并
且于
是
上为增函数. 如果f 为偶函数，则
上为减函数.
(2) 设f (x ) 为奇函数，则对任意
(3) 设f (x ) 是以T 为周期的周期函数. 对任意
也是以T 为周期的周期函数.
6． 若级数
证明级数【答案】由
与都收敛，且成立不等式
都发散，试问
又级数
收敛，
从而与
一定发散吗？ 与收敛.
若
都收敛，故正项级数
都发散
.
收敛.
如果取
收
未必发散.
如
为发散的正项级
，也收敛. 若
可得满足不等式且
敛，
由比较原则得正项级数数，则必有
发散.
均发散，
但
二、解答题
7． 设m , n 为正数，
求积分
【答案】设
由分部积分法得
从而
（利用余元公式、换元、B 函数更为简单）.
8． 下列级数哪些是绝对收敛，条件收敛或发散的：
(1
) (3
) (5
) (7
)
(2) (4)
(6) (8)
.
：
的值.