2017年南京财经大学应用数学学院615数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
(1) 任给(2) 存在
为开集
，
存在
当
当在
可微，试证明： 时，有
时，有
(这称为在可微点邻域内满足局部利普希茨条件) 【答案】(1) 因为，在其中
即
处可微，依定义
当
时，有
(2)
在其中
2． 设
在中取
则
上连续，且满足条件
求证：
即
3． 设
在
.
上连续，
至少在两点达到最小值.
【答案】由题设知
的介值性知
，以
. 使得
在使得
_
显然
上的值域为
再由
但
即F (x ) 至少在两点达到最小值.
4． 证明：若
【答案】(1) 若因
为
(2) 当且仅当a=0时，由，
可推出
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使
故当
肘，有
为一常数.
【答案】由条件得
且在处达到最小值又因为
证明：
由连续函数
，所
在上的值域也是
则
则对任意
当且仅当a 为何值时反之也成立？
存在N ，使得n>N时，
当n>N时，也
有
此时，命题变为：
于
是
所以对于任
意
证明如下：由. 是如果
5． 设函数f 在点
当
6． 设角是常数).
【答案】
故
时
即数列
知，对任意
满足
存在N ，当n>N时，
但数列
是发散的.
即
于
存在左右导数，试证f 在点连续.
都存在，所以由有限增量公式：
当
故f (x ) 在点
连续.
之下
则必有
是一(其中旋转
时
于
是
【答案】因为f 在点的左右导数.
可微，证明：在坐标旋转变换
个形式不变量，即若
二、解答题
7． 求级数
【答案】方法一 令
由逐项积分定理得
令
则由(1) 式得
从而即得
于是
容易证明
. 收敛，再根据阿贝尔引理得
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的和.
，容易求出此幂级数的收敛半径R=l，
且
方法二 先对原级数进行如下分解:
又由逐项积分定理，
有
再由阿贝尔引理得
联合(2) ，(3) 式得
8． 应用中值定理估计积分
【答案】由于在
使得
从而
9． 计算下列第二型曲面积分：
(1) (2
)
(3) (4
)
和球面
(5
)
取外侧； 其中是抛物面
方向取上侧； 其
中
为锥
面
其中为锥面
的外侧； 其
中
是闭曲
面
的值.
上连续，据中值定理知：存
所围立体表面的外侧，f (u ) 具有连续导数； 其
中
是三维空间中xy 平面上的曲线
段
绕y 轴旋转而成的曲面，方向取右侧；
(6
)
其中
是平行六面体
的表面并取
外侧，f (x ) , g (y ) ，h (z ) 为上的连续函数；
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