2017年南京航空航天大学理学院601数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 证明：若
【答案】
2． 设f (x ) 在
【答案】
由泰勒公式有
其中
甶0与x 之间
.
而f (0) >0，由介值定理，至少有一点 3． 设集
证明:复合函数【答案】设点存在又且
其中
使对一切
使
把点集E 映射为平面中的点
上具有连续二阶导数，又设
则在区间
内至少有一个点
使
存在，则
在xy 平面中的点集E 上一致连续
在D 上一致连续，
在E 上一致连续. 为D 上任意两个点. 由于只要
在E 上一致连续，因此，对上述的时，有
因此
在D 上一致连续，
从而对任给的就有
存在
使当
故复合函数
在E 上一致连续.
满足
【答案】令
利用
中值定理得
利用
中值定理得
令
则
原式
5． 证明级数
【答案】因为
按对角线相乘可得
*
所以两级数的乘积为
6． 证明公式：
这里数.
【答案】设S 为球面
则有
考虑新坐标系
它与原坐标系
共原点，
且
在新坐标系
中，
4． 设f (x ) 在(a , b ) 内二次可微，求证：
.
绝对收敛，同理
也绝对收敛，
与绝对收敛，且它们的乘积等于
故级数
在时为连续函
平面为坐标系的平面
，
轴过原点且垂直于该平面，于是有
这里的S 仍记为中心在原点的单位球面，将S 表示为：
则
从而
二、解答题
7． 求函数
【答案】首先有
令
得稳定点
又
从而
因为
故
为负定矩阵，所以f 在内点
处取得极大值1.
在
内的极值.
8． 将下列函数展开成麦克劳林级数：
(1) (2) (3) (4) (5) 【答案】⑴而
所以当
时，有
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