2017年南京理工大学理学院616数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设在
上可积. 证明：
对右边第一个积分作代换
于是
(1)
若(2)
若 2． 已知
为发散的正项级数，
为其部分和，用柯西收敛原理证明
使得
可以先取n=N+l，注意到
递增，所以此时有
因为则
所以原命题成立.
3． 证明：定义在对称区间(-1，1) 内的任何函数之和的形式，且这种表示法是唯一的.
【答案】令
则
下证唯一性.
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(1) 若为奇函数，则(2) 若为偶函数，则【答案】因为
则得
为奇函数，则为偶函数，则
故
故
发散.
【答案】只需证明对任意的正整数N ，都存在整数
递増且趋于正无穷，所以对给定的N 必然存在足够大的正整数m , 使得
必可以表示成偶函数与奇函数
且容易证明是偶函数，是奇函数.
若还存在偶函数用
式有
和奇函数满足则有
由①+②可得再代入①式可得
4． 用区间套定理证明闭区间上连续函数的零点存在定理.
【答案】不妨设若
取
同样，若若
有
且满足因为f (x ) 在由于
5． 证明下列结论：
(1) 函数(2) 符号函数【答案】(1) 假设
不存在原函数；
不存在原函数. 则
于是
当
即
时
有
当
时
有
由
于
连续，所
以
取
得证；
若
如此继续可得闭区间套
且
故有
处连续，故
所以
取满足
于是由闭区间套定理知存在惟一的
于是
若
若
得证；
取
于是
有
从而
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这与(2) 假设
矛盾.
由拉格朗日定理得
这说明
6． 设f (x ) 在
(1)
时，
在点
不可导，与
相矛盾.
上连续，满足：
由于f (x ) 在S 上连续，根据连续函数的性质，f (x ) 必在
和最小
值
若
记
那么
所以
使得
(2) 对任意x 和正常数c , 求证：存在S 上
的
和
【答案】考虑有界闭集
点分别取到它在S 上的最大
值
二、解答题
7． 设
【答案】对当
取
讨论
即
时，有
，
于是，由，
数存在； 记
当
时，因
可知
不能写成
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在原点处的连续性、偏导数存在性及可微性.
属于(0, 0) 的艰域
在原点处连续；
及
知
在原点处的两个偏导
的形式，
即在原点处