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一、证明题

1． 证明：对任何

(1

) (2

)

并说明等号何时成立. 【答案】(1) 由三角不等式当且仅当(2

)

当且仅当x=2时，等号成立.

2． (1) 证明：若

(2) 证明：若f 在【答案】(1) 由于有

从而有

由

根据第(1) 题知：

3． 证明：若

则

其中

【答案】(1) 令

在区间

上应用拉格朗日中值定理，得

从这个等式中解出

得，

因为

所以

又因为

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有

可知，

时，等号成立.

收敛，且存在极限

上可导，

且存在，若

因

与

设

则 都收敛，则对

存在M ，使得当发散，于是

时，

也发散. 这

故

与已知条件矛盾，故有

(2)

设

收敛可知收敛，

所以

所以

(2)

4．

设悬链方程为

证明：(1)

【答案】(1) 由弧长公式得

由定积分的几何意义可得

(2) 旋转体体积为

侧面积为

所以

(3) x=t处的截面面积为

所以

5． 设，

且

求证：

【答案】改写

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它在上的一段弧长和曲边梯形的面积分别记为：(2)

(3)

该曲边梯形绕x 轴一周所得旋转体体积、侧面积和x=t处的截面面积分别记为

6．

设

【答案】因为又因为对上述任给的

从而对任给的从而对上述只需取

存在

存在使当

时，就有

使当

时，有

2时，有

且

在

附近

有

证

明

故

二、解答题

7． 设磁场强度为

【答案】设磁通量为

则

求从球内出发通过上半球面

的磁通量.

由轮换对称性，并利用球坐标变换，有

故

8． 求螺旋线

【答案】则

9．

计算三重积分与累次积分

【答案】(1) 由于被积函数为

因此可以把三重积分化为“先二重后一重”的累次积分，又由

从而

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对轴的转动惯量，设曲线密度为

其中V

由所确定

；

区域V 用平行于xy 平面的平面截得的是一个圆面，即