2017年曲阜师范大学工学院764高等代数B(只含线性代数)考研强化模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 化以下各
【答案】分别用①
②
表示以上三个矩阵.
矩阵为标准形：
③类似可得
的标准形为
2． 设
均为n 维线性空间V 的子空间，且是否正确. 说明理由.
判断
【答案】如上结论不正确.
例如，令n=3, 取V 为三维几何空间，显有
为
Oxy
3． 设V 是数域P 上线性空间，证：是零函数时，
或是零函数.
【答案】证法1反证法. 若于是
分别为面上不共线三向量生成的子空间，
是V 上的线性函数，V 到P 的函数使皆不为零，则V 中有向量
求
类似可得矛盾. 证法2若
于是
皆不为零，则故
是V 的真子空间，于是
但
但是
矛盾.
4． 求
这里是对所有的n 级排列求和
经一系列的对换都可以化为自然排列
的奇偶性相同，因而
且所作对换次
【答案】由任意n 级排列数的奇偶性与排列
这里注意到n 级排列奇偶排列各占一半.
5． （1）求矩阵
的若当标准形，并计算（注：按通常定义（2）设
求
（精确到小数点后4位）.
的行列式因子
所以
从而A 的不变因子为
由此得A 的初等因子为
因而A 的若当标准形为
再求因
故由哈密尔顿一凯莱定理知
于是
且故A 的
右上角的一个三阶子式为
【答案】（1）先求A 的若当标准形.
因为
的左上角的一个三阶子式为行列式因子为
（2）易知
其中
于
是
为待定系数，则有
考
由哈密尔顿一凯莱定理知
虑
至
令
现
且设
即
解得a ，b , c的近似值（精确到小数点后4位）
于是有