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一、分析计算题

1．

该确定向量组

【答案】将

的秩和一个极大线性无关组.

写成列向量，拼成一个矩阵，并进行初等行变换，将此矩阵化为阶梯形

.

试

为其一个极大线性无关组.

注从①式看出以及等

都是此向量组的一个极大线性无关组，此即：一个向量组的极大线性无关组不是惟一的.

2． 给定的两组基

定义线性变换

（1）写出由基到基的过渡矩阵；

（2）写出（3）写出

在基在基

下的矩阵； 下的矩阵.

则

【答案】⑴令

又令过渡矩阵为Z

,

对两端将的表达式代入后，得到

解此方程，得

（2）因为

在基（3）因故

3． 设

其中

（1）秩（2）若

在

下的矩阵仍为Z.

为3维列向量，矩阵

分别是

线性相关，则秩

证法

2

（2）由于

线性相关，不妨设

于是

的转置，证明： 下的矩阵就是Z.

【答案】（1）证法

1

4． 设的值.

【答案】因为由

并且设

是

与

与

不能同时为0, 所以

的最大公因式是一个2次多项式，求t , u

根据题目假设，它一定是一个2次多项式.

所以的一个最大公因式，因此

能整除

比较系数得

（1）如果

则

代入第1式得

再由2式得

（2）如果即有

因此

根据以上讨论，知t ，u 的值为

5． 证明：

【答案】设等式左端行列式为D , 则易知D 等于

则由1，2两式，解得