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一、选择题

1． 下面哪一种变换是线性变换（ ）

.

【答案】C

【解析】

，而

不一定是线性变换，

比如

不是惟一的.

.

则

也不是线性变换，

比如给

2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵

.

A. B. C. D.

【答案】D 【解析】由题设知所以

3． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.

A. 必相等

B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在

若选故选B.

4． 设

又

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中选三个向量组

从而否定A ,

若选从而否定C ,

为空间的两组基，且

则（ ）•

【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得

即 5． 设次型.

A. B. C. D. 【答案】D

【解析】方法1 用排除法令

则

这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2

所以当方法3 设

时，f 为正定二次型.

对应的矩阵为A ，则

A 的3个顺序主子式为

所以当方法4令

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由②有

则当（ ）时，此时二次型为正定二

为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1

时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.

所以f 为正定的.

二、分析计算题

6． 证明：任何二阶正交方阵A 均可表为

且若

则A 相似于

得

由于

故当

时由

即

由（8）知，存在使有

若

取

（若

则存

在

则此时A 总可表为

若

则

于是由

' 即

于是同上理，令

可表为

并且此时

有两个互异的特征根

故存在正交方阵U 使

7． 求A 的全体零化多项式集，其中

则存在，例如，例如

，

便

便

有

【答案】令为正交方阵. 则由

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