2017年曲阜师范大学管理学院764高等代数B(只含线性代数)考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、分析计算题
1． 如果a 是
的一个k 重根，证明a 是
的一个k+3重根. 【答案】
因为a 是
的一个k 重根，所以a 是
的一个k+1重根. 又因a 是
及
的根，
因此a 是的一个重根.
2． 问：a , b满足何条件时
【答案】由于
故
因此，当2ax+b=0即a=b=0时当
时，用
除.
得
因此，当
，即
时得
故此时f （X ）有重因式，且
，为其2重因式.
是V 中p 个向量，满足
的线性组合，即
3． 设a 为欧氏空间V 中的一个非零向量，
证明:（1）
【答案】（1）反证法. 设有实数
使
将这关系式改写成
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有重因式？
显然有重因式.
线性无关；
个向量，使其两两夹角都大于
线性相关.
不妨设
是
（2）n 维欧氏空间中最多有
将其中具有正系数于
因此
是
的项归入因
具有负系数的项归在
及
下. 且令
故
但
另一方面
这个矛盾证明了所要的结论. （2）设取
则
它们两两成钝角，于是有
符合第（1）小题的假设条件，
故
试求
【答案】解法
是如下齐次线性方程组的解空间
解之得一个基础解系设
则
所以
其一个基础解系为：
所以
为其一组基.
解法2考虑到所求正交补空问即为系数矩阵A 的行向量生成的子空间. 由
可知
5． 设
的一组基为
是整系数多项式，若口
为奇数，则
在有理数域上不可约.
的一组基.
线性无关.
又V 是n 维的，有于是
4． 若实4维向量空间V 的子空间
【答案】设f （x ）在Q 上可约，则f （x ）可以分解成一次与二次整系数多项式的乘积，
设
其中p ，g
，
由为奇数，
则为奇数.
由
知均为奇数.
为奇数，
为偶数，矛盾，故
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在Q 上不可约.
6． 设T , S是复数域上n 维空间V 的线性变换且可交换. 证明：
①T 的特征子空间对S 也不变； ②T , S至少有一个公共特征向量.
【答案】①设是T 的一个特征值，是T 的属于的特征子空间，则又任取
则
于是由TS=ST得
因此，对S 不变. 用
特征向量，故
但因为
故亦有
即是T ，S 的公共特征向量.
即
对S 也不变.
中的诱导变换，从而
在
中必有特征值，设为
而
为相应
②因为T 是复数域上n 维空间的线性变换，故T 必有特征值. 令为其一特征值，则由①知
，
表示S 在
当然对T 不变.
7． 设A ，B 均为n 阶矩阵，时为对角阵.
【答案】由故
则存在可逆矩阵P , 使
求证：存在可逆矩阵G ，使
由
同
这里
这里使
其中 8． 设
也是V 的一基.
【答案】证法若T 可逆，则其逆若不然，则
反之，若则证法
这里若’
也是V 的线性变换. 而且必线性相关，矛盾. 故
必线性无关：因为也是的一基.
是数域K 上n 维空间V 的一基. 证明：V 的线性变T 可逆的充要条件是
. 令
则
同时为对角阵.
分别是
阶方阵. 由
则
故存在可逆矩阵
线性无关，则它也是V 的一基. 从而对任意令
即T 是V 的满射变换. 于是T 是V 的双射变换（若在此直接证线性无关，则它是V 的一基. 从而由定理知，存在线性变换S 使
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T 是单射变换也很容易），从而是可逆变换.