2018年首都师范大学教育学院873数学基础[专业硕士]之数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设a>1, b>1为两个常数, 定义在
有
【答案】由由及对故
2． 对下列命题, 若认为是正确的, 请给予证明; 若认为是错误的. 请举一反例予以否定:
（1）设（2）设（3）设（4）设可导.
而题设矛盾.
（3）命题错误. 如取处处不可导. （4）命题错误.
如取在
3． 证明:若是闭区间.
【答案】若f 在D 上不恒为常数. f 在D 上有界且能取得最大值、最小值, 分别设为M , m 则
且
即
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上的函数f （x ）在x=0附近有界, 且对
. 证明:
.
, 而b>1知f （0）=0, 故只需证明
可推得, 当
时,
有
（n 为任意正整数）, 而f （x ）在x=0附近有界,
所以
, 于是取
, 当
时有
, 从而
, 由b>1可知存在正整数N , 使得
, 若f 在点x 0可导, 则, 在点x 0可导;
, 若在点x 0可导, 在点x 0不可导, 则f 在点x 0—定不可导; , 若f 在点x 0可导, 则, 在点x 0可导;
, 若在点x 0可导, 在点x 0不可导, 则f 在点x 0—定不可导.
,
, 则
, f （x ）在
处
与
在x 0=0处都不可导.
在x 0也可导. 这与
处处可导.
但
【答案】（1）命题错误. 如取
（2）命题正确. 反证法. 假如f 在点x 0可导, 又因在点x 0也可导, 则
（狄利克雷函数）, 则, 则
在
可导
.
不可导, 而f （x ） =0在x 0=0可导.
:是有界闭域, f 为D 上连续函数, 且f 不是常数函数, 则f （D ）不仅有界, 而且
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下证任给
4．
证明下列结论:
（1
）函数（2）符号函数
【答案】（1
）假设
不存在原函数;
不存在原函数. , 则
于是当x<0时有
,
即
; 当X>0时有
.
由于F
（x ）连续, 所以
由介值定理, 必存在
使
从而
, 故
于是
从而
这与（2）假设
矛盾.
. 由拉格朗日定理得
这说明F （x ）在点x=0不可导, 与.
5． 证明:函数
【答案】下面用归纳法证明当n=1时,
, 其中, 命题成立. 设在x=0处n 阶可导且
为次数不超过3n 的多项式.
, 其中
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相矛盾.
, 其中n 为任意正整数.
满足要求, 则
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因为故
6． 证明下列结论:
（1）
当和
（2）若
在点a 的邻域U （a ）内连续
有
且
【答案】
（1）
令使得
令
,
则
, 于是有
从这个式子中可解得
由于
, 所以
, 且易知
（2）由泰勒定理知
其中于是
令
取极限, 利用n+1阶导数的定义及
在U （a ）内连续有
, 比较f （a+h）的两个展式有
,
, 则
.
f X
）, 则在[X, X+1]
上对（利用拉格朗日定理, 当
时
,
,
时
,
, 使得
, 其中
, 并求
的次数不超过3n ,
所以
的次数
对任意
成立.
由于对任意的
所以
的次数不超过（3n-1
）, 于是
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