2018年上海财经大学国际工商管理学院396经济类联考综合能力之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 设B
是
（I
）证明（II
）证明（III
）若【答案】⑴
（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p ,
矩阵
且A 可对角化，
求行列式
逆
其中E 是n 阶单位矩阵.
使或1.
2．
已知
对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.
此时
是二重根，
故
于是
必有两个线性无关的特征向量，
于是
知
是矩阵
的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使
为
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先
再将单位化，得正交矩阵：
且有
3． 证明n
阶矩阵
与相似.
【答案】
设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，
故A 的n 个特征值为
且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且
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所以B 的n 个特征值也为
=-B的秩显然为1，故矩阵B
对应n-1重特征值
对于n-1重特征值
由于矩阵（
0E-B ）
的特征向量应该有n-1个线性无关
，进一步
矩阵B 存在
n 个线性无关的特征向量，
即矩阵B
一定可以对角化，且从而可
知n 阶矩阵与相似.
4． 已知
，求
【答案】令
则且有1
所以
二、计算题
5
． 设A 为正交阵，且
detA=-1, 证明λ=-1是A 的特征值.
【答案】由特征方程的定义因此，只需证 6． 设
【答案】由
AB=A+2B, 求B.
是A 的特征值
而
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