2018年上海财经大学公共经济与管理学院396经济类联考综合能力之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
是正定矩阵，
并求行列式
的值.
即或
贝
因为A 是
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
且秩
实对称矩阵，所以必可对角化，
且秩于是
那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.
故二次型
（Ⅱ）因
为
故
的规范形为
所以矩阵B 的特征值是
：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，
且
2．
已知
二次型的秩为
2.
求实数a 的值；
求正交变换x=Qy使得f 化为标准型. 【答案】
⑴由
可得
，
则矩阵
解得B 矩阵的特征值为
：当
时，
解
得对应的特征向量为
当时，
解
得对应的特征向量为
对于
解得对应的特征向量为
：
将单位转化为
：
. 令X=Qy,
则
3．
已知
，求
【答案】
令
则且有
1
所以
4．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
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又由
得
因与
可知综上可知，
有
即故都是
的解. 由
线性无关. 由
是
得
的基础解系.
那么
二、计算题
5． 设n 阶矩阵A ，B 满足
【答案】显然A 与B 的对应A 与B 有对应于
另一方面，
证明A 与B 有公共的特征值
，有公共的特征向量. 则A 不可逆，
0是A
的特征值；
同理
，0也是B 的特征值，
于是A 与B 有公共的特征值0.
的特征向量依次是方程Ax=0和Bx=0的非零解
. 于是
的公共特征向量
另一方面. 由矩阵秩的性质
综上，A 与B 有公共的特征向量.
6． 已知向量组A :
【答案】记矩阵因A 组与B 组等价
故求矩阵（B ，A ）的行阶梯形以计算3个矩阵的秩.
即知R （B ）=R（B ，A ）=2, 且，
又与不成比例，故R （A ）=2.
B ：
证明A 组与B 组等价，