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一、证明题

1． 设

证明:

对任意

无界.

【答案】对任意稠密性, 可以在

这说明

2． 设函数

在

上连续且恒大于零, 按

在

当

时, 有

在点处连续. 当改为综上可知,

3． 求证:

（1）（2）

【答案】（1）已知序列

严格递增, 且

（*）

又设

.

显然

.

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任意正数

对任意正数中选取有理数

这样

有

对任意正数

在上

由有理数的

在上无界.

定义证明:

在在

上连续.

上有最小

值

【答案】因

为

上连续, 所

以

（或）时, 只需将上面

（或在

上连续.

）即可.

再根据n+2项的平均值不等式, 有

（**）

联合（*）与（**）式即得

（2）记

, 由第（1）小题结论, 有

再由第（1）小题结论, 有

即

有下界, 从而极限

存在.

二、解答题

4． （1）求

（2）求（3）求【答案】（1

）以任意相乘, 记

则有

其中

即得

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在x=0点的幂级数展开式;

的和; 的和.

是一绝对收敛的级数. 由于绝对收敛级数可

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（2）对

展开的幂级数, 用阿贝尔引理得

（3）

5．

求

【答案】由上的最值问题.

令当当

6． 设

（1

）试求以（2）计算【答案】（1）因所以

所以

或或

即即

, 则

或时, z=f （x , y ）取最大值或

时, z 取最小值

.

,

最小值为

.

;

在区域D

上的最大值和最小值.

=0.再考虑边界, 且f （0, 0）得稳定点为（0, 0）

将其与f （0, 0） =0进行比较知, 所求函数的最大值为

其中

为自变量的反函数组；

（2）

7． 对n 次多项式进行因式分解

从某种意义上说, 这也是一个反函数问题, 因为多项式的每个系数都是它的, n 个根的已知函

第

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