2018年沈阳工业大学理学院611数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． （1）设
在
上可导. 若存在
使
（2）设
在
上可导, 设存在
设
【答案】[1]存在
证明:存在使得
.
使
使
[2]方法一 反证法:假设结论不真. 则对所有不妨设对一切当n 充分大时, 若有令
必有
都有
则有或者
则
上严格单调递增.
对上述不等式取极限, 则得
这与条件矛盾； 同理对所有若下设
因为
的数
存在
从而由Rolle 定理知, 存在若②当（x ）在
时
,
处取到最小值, 则有
, 则
任取一点作
不恒等于
都有, 则存在
时, 亦可得出矛盾, 所以假设不成立, 故原结论成立. 则使得
类似可证）
函数
使得使得
在
内连续, 所以对任意取定
结论自然成立；
方法二 ①当为有限数时, 若
（对
上面的推理仍然正确.
易知
在
内可取到最小值, 设f
③当设
在
时,
处取到最大值, 则有
,
易知
在内可取到最大值,
（2）由于对所有
由导函数的介值定理, 对所有故有所以
在
上严格单调递增, 或
都存在；
必有在
或者
上严格单调递减.
下用反证法证明结论成立, 假设结论不真, 令令若对一切当n 充分大时, 有令
则对任意
则有对所有都有.
有
对上述不等式取极限, 则得
这与条件矛盾； 同理对所有即存在
使得
都有
时, 亦可得出矛盾, 所以假设不成立, 故原结论成立, 则
均有
于是必有在
.
或者
.
.
上严格单调递增
,
2． 求下列函数在所指定区域D 内的平均值:
（
1）（2）
【答案】（1）由于D 的面积为, 所以, 的平均值
（2）由D 的体积为
, 令
, 得
, 所以
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所以平均值
3． 设
【答案】
由
又
4． 求两曲面
【答案】对方程
关于z 求导得
解得
因此交线在xy 平面的投影曲线的切线方程为
5． 利用微分求近似值
:
（1）（2）（3）
（4）则即（2）令由
. ,
, 则
得
求的定义域和解得
从
而
的定
义域为
的交线在xy 平面上的投影曲线的切线方程.
.
,
,
,
,
【答案】（1）令