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一、证明题

1． 已知

为发散的正项级数

，

为其部分和，用柯西收敛原理证明

使得

可以先取n=N+l，注意到

递增，所以此时有

因为则

所以原命题成立.

2． 证明二重积分中值定理(性质7) .

【答案】性质7 (中值定理) 若f 为有界闭域D 上的连续函数，则存在

因为f 在D 上连续，所以f 在D 上一定存在最大值M 与最小值m ，对D 中一切点有由性质4知：

即

再由定理16.10知，存在

3． 证明:

若

在

【答案】对

作分割

使其包含等式

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发散.

【答案】只需证明对任意的正整数N ，都存在整数

递増且趋于正无穷，所以对给定的N 必然存在足够大的正整数m , 使得

使得

使得

上连续，且除有限个点外

有

则

有

上可积, F

在

不成立的有限个点

为部分分点，在每个小区

间

使

于是

上

对使用拉格朗日中值定理，则分别存

在

因为

在

4．

设级数

【答案】级数可记为

一个

又

都是及

时

，为

上可积，所以令

有

都是则

又对每一个

上一致收敛，从而也必收敛.

在

上的单调函数，则

一致有界. 由每

上正的递减且收敛于零的函数列，每一个

在

设

为收敛于零的函数列，

故

上不仅收敛，而且一致收敛.

上的单调函数可得

是单调的，由狄利克雷判别法可知，原级数在

二、计算题

5． 计算积分

【答案】令

6． 问下列积分是否可积（即原函数是初等函数）：

【答案】（1）原式

由此可见，

由于（2）原式

由此可见

由于 7． 设

【答案】

试验证

并求

三个量都非整数，从而原式不可积. 三个量都非整数，从而原式不可积.

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又

8． 设周期为2π的可积函数

试问的傅里叶系数【答案】

9． 计算

其中L 为球面

与平面

的交线.

【答案】方法一(用参数方程求解) 将

代入球面方程整理可得

令

代入上式得

所以

于是

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满足以下关系式：

的傅里叶系数

有什么关系？