当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 证明：

(1) 方程(2) 方程【答案】(1)

令

的开口向上，于是

.

个不同的实根.

使得

(2) 令

并且

但这是不可能的. 因为

有一个实根

使得

根

2． 设函数列

函数(不要求一致有界) . 证明

：

【答案】

首先证明f (x ) ，g (x ) 在I 上有界. 而

所以

同理可证g (x ) 在I 上也有界. 设其次证明数

当因此

时有

当

时有

第 2 页，共 26 页

(这里c 为常数) 在区间内不可能有两个不同的实根；

U 为正整数，p 、q 为实数) 当n 为偶数时至多有两个实根；

则

在区间不妨设

则

.

则

当

由方程

得

抛物线

内有两

当n 为奇数时至多有三个实根.

内恒为负. 用反证法证明原命题. 如果在区间

由罗尔中值定理知，存在在区间

内不可能有两个不同的实根.

时，

使得

使得

它在实数集R 上有且仅

时，显然成立；当

但这是不可能的. 所以方程

(i ) 设n 为正偶数.

如果方程

有三个以上的实根，则存在实数

.

根据罗尔中值定理，

存在

是奇次方程

故方程并且

当n 为偶数时至多有两个实根.

有四个以上不同的实根，则根据罗尔中值定理，

存在

但这是不可能的.

因为

是偶次方程

当n 为奇数时至多有三个实

(ii ) 设n 为正奇数. 如果方程.

它在实数集R 上最多只有两个实根. 故方程.

在区间I 上一致收敛，且对每个n ，

在I 上必一致收敛.

都是I 上的有界

存在正整数

使得

故存在正整

在I 上一致有界. 由

令，

最后证明n>N时

，

有

于是当n>N时，

有

故

在I 上一致收敛于f (x ) g (x ) .

4． 设

取充分性，若

当n>N时，有

则

所以对任给的时

， 上连续，

则对任何自然数n

,

【答案】令显然

在上述小区间上连续，且

第 3 页，共 26 页

，则

取正整数N ，使得当

有

3． 利用导数定义证明

：

【答案】

证明的充要条件是

则

即

当时，有

即

对

取

又因为

所以

对

【答案】必要性，若

当n>N时，有

则当n>N时，有即

5． 设，证明

【答案】因为对于这样的当

故

6． 证明:若f 在

存在使得当因此

使得

将[0，1]区间n 等分：

若分点若不然，

则由

中有一个使

则命题得证.

可知，上述被加项中必有两项异

号，在它们所构成的区间上应用连续函数根的存在定理即知结论成立. 7． 设

【答案】

由题设

于是原命题得证.

可知

证明

介于1与之间.

二、解答题

8． 设

（1）H 能否覆盖

？

所以

即

问

（2）能否从H 中选出有限个开区间覆盖【答案】⑴

有故H 能覆盖的下确界

为

有

（2）设从H 中选出m 个开区间，它们

是

于

是

故不能从H 中选出有限个开区间来覆盖

从H 中选出98个开区间中选出有限个开区间覆盖 9． 求

【答案】由于

之和.

所以考虑幂级数

当

时，逐项积分有

因为

令的子

集

则并

集实际

上

所以这些开区间覆盖了故可以从H

求导得

第 4 页，共 26 页