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一、证明题

1． 设f 在

【答案】(1) 设是，当

时，有

上连续，且

则对于

存在. 证明：f 在存在正数

上有界. 又问f 在使得当

时有

上有界.

在上无最大值. 均有界. 证明：

欲证，相应地存在

时

，

是有界点列. 由致密性定理

，

注意到.

使得

则

故

是闭集. 上连续，

且有

在

时，有

上必于

上也连续. 于是，

对一切

有最大值或最小值吗？

因为f 在即f

在

(2) f

在

但f (x ) 在

2． 设即可.

事实上，由f

是

由

由已知条件

，在收敛子列

再由 3． 设

在

上连续，证明

则满足

及f 的连续性，令

到

的映射知，

对每一个

当

使得

记

相应

地

存

显然它是有界闭集.

可知

，

是有界集，

所以

可得

上无最小值. 而

上连续，所以f 在闭区间

根据连续函数的有界性知，存在正数G ，

使得当

上不一定有最大值和最小值.

例如

是连续映射，若对中的任何有界闭集并设

【答案】任取点列是闭集，只需证明

【答案】令因

.

在[0, 1]上连续，故记

不妨设

因

在[0, 1]上连续，

故且

时，有

因当

记时，有

则存在正整数从而当

使得当时，有

由(3) 和(7) 知，当

「时，有

综上，即证得

4． 证明：若

则

其中

【答案】(1) 令

在区间

上应用拉格朗日中值定理，得

从这个等式中解出

得，

因为

所以

又因为

所以

在[0, 1]上一致连续，

故对上述的正数

当

时，有

，

(2)

5． 设f 为

上的递增函数. 证明

和. ) . 因为f

为

使得

即

②

6． 证明：级数

【答案】证法一：记

的项最多有

由阿贝尔变换得

由柯西收敛准则知原级数收敛.

证法二：将该级数中符号相同的项加括号得

因为

即同理可证

都存在，且

上的增函数，

所以对

上有上确界，令则

并当

.

有F 时，有

【答案】

①取

•即f (x ) 在

是对任给的

存在

上有上界. 由确界原理知f (x ) 在

，令故

同理可证. 收敛.

，则任意的n , 存在k ，使

因为

所以

故

中使得