2017年北京信息科技大学理学院610数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 试用聚点定理证明柯西收敛准则。
【答案】
设
收敛，令于是
设数列
满足柯西收敛准则的条件.
如果集合
只含有有限多个不同的实数，则从某一
的极限.
如果集合
至少
中
都含有集合
于是，对任给的
存在正整数N , 使得当
时，
有
项起这个数列的项为常数，否则柯西条件不会成立. 此时，这个常数就是数列有一个聚点
假如
无限多个点. 这与取
整数N ，当对于任意使得
有两个不等的聚点
存在正时，
有存在N , 使得当因而，当
时，
故数列
收敛于
2． 设f (x ) 是区间
使得
(1) (2)
恰好是
是或
当当
时，取时，取
且
重复上述过程：若对任意
或
有时，
取
【答案】因为
在若对任
意
则有则有
使得
使得
上的最大、最小值(最小、最大值) . 上一个非常数的连续函数，所以
有
设
时，
矛盾. 故不妨设
令
则与
含有无限多个不同的实数，则由柯西条件容易得知它是有界的. 于是由聚点定理，集合
的聚点是惟一的，记之为 又因为是
的聚点，所以存在
上的一个非常数的连续函数，M ，m 分别是最大、最小值，求证：
存在
使
则结论成立. 否则，即存在
点
即总存在
有
时，取
则结论成立. 否则，即存在点
有
且当
有
或者存在
此时，因为假如
即所以
由于矛盾.
并且
有
且
递増有上界
且
使
此时结论成立.
使
递减有下界，所以存在
是连续函数，可以推出
是
在
上的最小值
是
在上
使
这样再重复上述过程，得到
的最大值.
3． 设在(0, 0) 点附近存在，且在(0, 0) 点可微，证明：
【答案】因为
在(0, 0) 点可微，所以
都存在.
下证：两个混合偏导数相等. 由于
因此
其中
(2)
和
其中
是
时的无穷小量，
是
时的无穷小量.
将式(2) 、式(3) 两式代入式(1) 可得
令
4． 证明:
(1) 可导的偶函数，其导函数为奇函数；
注意到在(0, 0) 点可微，我们有
则故有
(2) 可导的奇函数，其导函数为偶函数； (3) 可导的周期函数，其导函数仍为周期函数. 【答案】(1) 设f (x ) 为偶函数，则对任意
有
设I
则
故
是奇函数.
有
设
则
故
是偶函数.
故
也是以T 为周期的周期函数.
(3) 设f (x ) 是以T 为周期的周期函数. 对任意
(2) 设f (x ) 为奇函数，则对任意
二、解答题
5． 设
应用链式法则计算
即
则
【答案】把看作以下三个变换的复合