2017年云南省培养单位云南天文台803概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编
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2017年云南省培养单位云南天文台803概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编（一）.... 2 2017年云南省培养单位云南天文台803概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编（二）.... 9 2017年云南省培养单位云南天文台803概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编（三）.. 18 2017年云南省培养单位云南天文台803概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编（四）.. 26 2017年云南省培养单位云南天文台803概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编（五）.. 35
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一、证明题
1． 设总体X 的均值为方差为
线性无偏估计量. 证明：与T 的相关系数为
【答案】由于于是
而
故有
从而
2． 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性:若随机变量与Y 独立, 则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是伽玛分布
的特征函数, 由唯一性定理知
, 且X
为的线性无偏估计量，故
是来自该总体的一个样本，
其中为的任一凸
3． 试验证:以下给出的两个不同的联合密度函数, 它们有相同的边际密度函数
.
【答案】因为当
时, 有
又因为当0 所以 第 2 页，共 45 页 有相同的边际密度函数. 4． 在回归分析计算中，常对数据进行变换： 其中 平方和之间的关系； （2）证明：由原始数据和变换后数据得到的F 检验统计量的值保持不变. 【答案】（1）经变换后，各平方和的表达式如下： 所以由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计间的关系为 在实际应用中，人们往往先由变换后的数据求出 然后再据此给出 总平方和、回归平方和以及残差平方和分别为 （2）由（1）的结果我们知道数据得到的F 检验统计量的值保持不变. 5． 设 是来自泊松分布 的样本, 证明 是充分统计量. 有 即说明了由原始数据和变换后 它们的关系为 是适当选取的常数. （1）试建立由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计、总平方和、回归平方和以及残差 【答案】由泊松分布性质知, 在给定T=t后, 对任意的 第 3 页，共 45 页 该条件分布与无关, 因而 是充分统计量. 独立，由此得 即 ，所以A 与B 独立. 由此得P （AB ）=P（A ）P （B ） 7． 设X 为非负连续随机变量，若 （1）（2） 存在，试证明： 6． 证：事件A 与B 独立的充要条件是 【答案】先证必要性：因为A 与B 独立，所以再证充分性：由 【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.利 用 得 （2）因为X 为非负连续随机变量，所以 也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得 令 则 8． 任意两事件之并 可表示为两个互不相容事件之并，譬如 【答案】⑴ （2）利用加法公式可得 第 4 页，共 45 页 （1）试用类似方法表示三个事件之并（2）利用（1）的结果证明
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