2017年云南省培养单位云南天文台803概率论与数理统计考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1. 设
也是一个分布函数.
【答案】为此要验证F (x )具有分布函数的三个基本性质. (1)单调性. 因为于是
(2)有界性. 对任意的x ,有
且
(3)右连续性. 2. 如果
【答案】对任意的
试证:首先考虑
的分布函数
因此
其中
为X 的分布函数, 类似有
因此
由上述两个关系式, 再考虑到的任意性,
即可得这就意味着
3. 设
证明:
证毕.
服从大数定律.
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都是分布函数,a 和b 是两个正常数,且a+b=l.证明:
都是分布函数,故当
时,有
为独立随机变量序列, 且
【答案】因
故可得马尔可夫条件
相互独立, 且
由马尔可夫大数定律知服从大数定律.
,则这说明
4 设T 是g ,.(θ)的UMVUE , 是g (θ)的另一个无偏估计证明:若
【答案】因为T 是g (θ)的UMVUE ,即
即
且
的无偏估计,故其差
由判断准则知
是0的无偏估计,
5. 设总体X 服从双参数指数分布, 其分布函数为
其
中明,
【答案】令
服从自由度为2的(1), 则
为样本的次序统计量. 试证分布
的联合密度为
作变换
其雅可比(Jacobi )行列式为合密度我们可以知道
的联合密度为
从而
由该联
是独立同分布的随机变量, 且
这是指数分布就证明了
6. 设随机变量序列
独立同分布, 其密度函数为
试证:
【答案】因为当x<0时,
有
当
时,
有
而当
时, 有
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的分布函数, 我们知道
,
就是
也就是. 这
其中常数, 令
„所以, 对任意的, 当
时, 有
所以有结论得证.
是其样本,
,证明:
是θ的充分统计量,则对
这说明,在均方误差准则下,人
7. 设总体概率函数是p (x ; 0), g (θ)的任一估计
令
们只需要考虑基于充分统计量的估计.
【答案】我们将均方误差作如下分解
注意到
这说明
于是
因而 8. 设
为独立同分布的随机变量序列, 方差存在, 令
, 证明:则
服从大数定律.
对任意的
因而
证明有
所以由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
9. 令X (n ,p )表本服从二项分布b (n ,p )的随机变量,试证明
:
【答案】
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又设, 有
为一列常数, 如果存在
常数c>0, 使得对一切n 有
【答案】不妨设
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