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2017年云南省培养单位云南天文台803概率论与数理统计考研强化模拟题

  摘要

一、证明题

1. 设

也是一个分布函数.

【答案】为此要验证F (x )具有分布函数的三个基本性质. (1)单调性. 因为于是

(2)有界性. 对任意的x ,有

(3)右连续性. 2. 如果

【答案】对任意的

试证:首先考虑

的分布函数

因此

其中

为X 的分布函数, 类似有

因此

由上述两个关系式, 再考虑到的任意性,

即可得这就意味着

3. 设

证明:

证毕.

服从大数定律.

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都是分布函数,a 和b 是两个正常数,且a+b=l.证明:

都是分布函数,故当

时,有

为独立随机变量序列, 且

【答案】因

故可得马尔可夫条件

相互独立, 且

由马尔可夫大数定律知服从大数定律.

,则这说明

4 设T 是g ,.(θ)的UMVUE , 是g (θ)的另一个无偏估计证明:若

【答案】因为T 是g (θ)的UMVUE ,即

的无偏估计,故其差

由判断准则知

是0的无偏估计,

5. 设总体X 服从双参数指数分布, 其分布函数为

中明,

【答案】令

服从自由度为2的(1), 则

为样本的次序统计量. 试证分布

的联合密度为

作变换

其雅可比(Jacobi )行列式为合密度我们可以知道

的联合密度为

从而

由该联

是独立同分布的随机变量, 且

这是指数分布就证明了

6. 设随机变量序列

独立同分布, 其密度函数为

试证:

【答案】因为当x<0时,

时,

而当

时, 有

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的分布函数, 我们知道

,

就是

也就是. 这

其中常数, 令

„所以, 对任意的, 当

时, 有

所以有结论得证.

是其样本,

,证明:

是θ的充分统计量,则对

这说明,在均方误差准则下,人

7. 设总体概率函数是p (x ; 0), g (θ)的任一估计

们只需要考虑基于充分统计量的估计.

【答案】我们将均方误差作如下分解

注意到

这说明

于是

因而 8. 设

为独立同分布的随机变量序列, 方差存在, 令

, 证明:则

服从大数定律.

对任意的

因而

证明有

所以由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

9. 令X (n ,p )表本服从二项分布b (n ,p )的随机变量,试证明

【答案】

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又设, 有

为一列常数, 如果存在

常数c>0, 使得对一切n 有

【答案】不妨设