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一、证明题

1． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A-B 与C 独立.

【答案】因为

所以A-B 与C 独立. 2． 设

是来自正态分布

的样本, 证明,

在给定

是充分统计量. 的条件密度函数为

【答案】由条件,

它与

无关, 从而

是充分统计量.

独立同分布, 数学期望、方差均存在, 且

【答案】己知则

对任意的

由切比雪夫不等式得

即

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3． 设随机变量序列证:

试

, 结论得证.

4． 同时掷5枚骰子，试证明：

（1）P （每枚都不一样）=0.0926； （2）P （一对）=0.4630； （3）P （两对）=0.2315； （4）P （三枚一样）=0_1543； （5）P （四枚一样）=0.0193； （6）P （五枚一样）=0.0008. 【答案】同时掷5枚骰子共有（1）

2枚组成“一对”，共有以

（3）先将5枚骰子分成三组，其中二组各有2枚殷子，另外一组只有一枚殷子，又考虑到各有2枚骰子的二组内是不用考虑顺序的，所以5枚骰子分成三组共有而这三组骰子出现的点数都不一样有

种可能，所以所求概率为

（4）这里“三枚一样”是指这三枚以外的2枚骰子不成对，所以先从5枚骰子中任取3枚组成一组，共有（53）种取法，然后这一组骰子与剩下的2枚骰子出现的点数不一样，所以

（5）先从5枚骰子中任取4枚组成一组，然后这一组骰子与剩下的一枚骰子各取不同的数，由此得

（6）五枚骰子出现的点数全部一样共有6种情况，所以

5． 任意两事件之并

可表示为两个互不相容事件之并，譬如

【答案】⑴

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个样本点，这是分母，以下分别求之.

（2）这里“一对”是指这一对以外的3枚骰子中不成对且不全相同，所以先从5枚骰子中任取

种取法，然后这“一对”骰子与剩下的3枚骰子出现的点数都不一样，所

种分法，

（1）试用类似方法表示三个事件之并（2）利用（1）的结果证明

（2）利用加法公式可得

6． 设总体概率函数是p （x ; 0）, g （θ）的任一估计

令

们只需要考虑基于充分统计量的估计.

【答案】我们将均方误差作如下分解

注意到

这说明

于是

因而

7． 设总体

【答案】

由于总体

均方误差为

将上式对a 求导并令其为0, 可以得到当

时，

最小. 且

这就证明了在均方误差准则下存在一个优于的估计. 这也说明，有偏估计有时不比无偏估计差.

8． 设

是其样本，θ的矩估计和最大似然估计都是，它也是θ的相合

下存在优于的估计. 现考虑形如

的估计类，其

所以

是其样本，

，证明：

是θ的充分统计量，则对

这说明，在均方误差准则下，人

估计和无偏估计，试证明在均方误差准则

为自由度为n 的t 变量, 试证:的极限分布为标准正态分布N （0, 1）.

, 其中

, 且X 与Y

, 考察其极限知

【答案】据自由度为n 的t 变量的构造知相互独立. 由Y 的特征函数为

, 劼的特征函数为

由特征函数性质知从而由, 再按依概率收敛性知

这就证明了

的极限分布为标准正态分布N （0, 1）.

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