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一、证明题

1． 设

【答案】若

, 证明:

服从贝塔分布, 并指出其参数.

, 则X 的密度函数为

由

在

上是严格单调增函数, 其反函数

为

Z 的密度函数为

整理得

这说明Z 服从贝塔分布

2． 设

, 其两个参数分别为F 分布两个自由度的一半.

为来自如下幂级数分布的样本，总体分布密度为

（1）证明：若c 已知，则的共轭先验分布为帕雷托分布； （2）若已知，则c 的共轭先验分布为伽玛分布. 【答案】（1）当c 已知时，不妨设服从帕雷托分布，即都已知，常记为

则在给出样本

后的后验分布密度函数为

其中

和

其中验分布.

（2

）当已知时，不妨设c

服从伽玛分布

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因此，所以当c 已知时帕雷托分布为的共扼先

即

其中

都已知. 则给出样本后c 的后验分布密度函数

这说明

3． 设随机变量\服从柯西分布, 其密度函数为

试证:

当

时, 有

令

, 试证明:

其中（3为常

【答案】对任意的即

4． 设随机变量序列数, 并求出c.

【答案】因为

, 且

所以由切比雪夫不等式得, 任对即即

列联表：

再由本节第3题知

有

独立同分布, 且

结论得证.

证明完成.

5． 设按有无特性A 与B 将n 个样品分成四类，组成

表

其中n=a+b+c+d，试证明此列联表独立性检验的统计量可以表示成

【答案】检验的假设问题为

与B 是独立的. 统计表示如下：

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在原假设成立下，我们计算诸参数的最大似然估计，为

进而得到

因而检验统计量为

证明完成.

6． 设随机变量X 与Y 相互独立, 且方差存在。证明:

【答案】

7． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明：

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