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一、证明题

1． 证明:若L 为平面上封闭曲线，Z 为任意方向向量，则线方向.

【答案】令

的夹角，则有：

由于

2． 设函数

求证：如果

为常数，且

在

上连续，在

内可导，且

严格单调增加，则

都严格单调増加. 【答案】

不妨设在

使得

又因为

严格单调增加，所以

从而

从而

3． 证明：场

【答案】对空间任一点

都有

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其中n 为曲线L 的外法

分别表示外法线与x 轴正向，与外法线n 以及/与x 轴正向

则由格林公式

(

否则用分别代替根据柯西中值定理，存

严格单调増加. 同理可ill 单调增加.

是有势场并求其势函数。

故A 是有势场。 由

故其势函数为：

4．

设点.

【答案】对任意

当x 充分大时，

有

由

5． 通过对

【答案】在

则

即

.

6． 设函数项级数

(1) 证明此级数在(2) 求其和函数.

【答案】(1) 对每一个固定的x>0, 有

利用正项级数的比较判别法知，但由于致收敛.

(2) 设

由于级数的通项出. 因此，如果级数

在

是以

为公比的几何级数，其和可以求

上收敛. 所以级数

上不一

上收敛但不一致收敛；

知

在

乂

所以由连续函数的零点存在定理知，存

在

上严格单调递增，所以f (x ) 在

有

中，令

内有且仅有一个零点.

在

上有连续导数，

且

试证：

在

内仅有一个零

施用中值定理，证明对某

上满足逐项求导定理的条件，那么S (x ) 便可求出. 但由

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(1) 知，在上不一致收敛，也就是说在

上考虑上述问题

.

显然

在

上不满足逐项求

导定理的条件. 为了克服这一困难，我们在缩小的区间

使

续的导数. 由

记

上有连

知，

于是可得

特别地，

由

的任意性，

都有

在

上一致收敛. 因此，

在

上可逐项求导，

二、解答题

7． 计算下列第一型曲线积分：

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

【答案】(1)

(2) 右半圆的参数方程为

从而

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其中是以为顶点的三角形；

其中是以原点为中心，为半径的右半圆周； 其中为椭圆，其中为单位圆周.

其中

为螺旋线

在第一象限中的部分；

的一段；

的一段；

与

相交的圆周.

其中是曲线_

其中是