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一、证明题

1． 证明：

对

一致收敛.

【答案】这个积分有无穷多个奇点，所以需要将这个积分写成级数形式

.

对而言，t=0为奇点. 由对而言，综上可知，

2． 设

求证

为奇点. 由

在[0，b]上一致收敛.

注意到

则有

3． 设

证明

令于是

4． 证明:若L 为平面上封闭曲线，Z 为任意方向向量，则线方向.

【答案】令

的夹角，则有：

由于

为常数，且

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的收敛性知，在[0, b]上一致收敛. 的收敛性知，在[0, b]上一致收敛.

【答案】不妨设

【答案】原不等式

则.

从而原不等式成立.

故在上单调递减.

其中n 为曲线L 的外法

分别表示外法线与x 轴正向，与外法线n 以及/与x 轴正向

则由格林公式

5． 已知函数上点

在

上有二阶导数并且

，

记.

的图像曲线为C ，过C

围

引切线. 证明当t 变动时，由该切线与曲线C 以及直线

围成的平面图形面积为

成的平面图形面积可取到最小值，并求出此值.

【答案】由题意得，切线与曲线C 以及直线

且

所以

6． 设

是[a, b]上非负连续函数，

在[a, b]上点态收敛于u (x ) . 证明：u (x ) 在[a, b]上

一定达到最小值.

【答案】记在点列

且

下证：

由

在点

处的连续性知，

当

由于

递增，故更有

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则

使

使

递增趋向于u (x ) ，且由致密性定理知，

设则存不妨设

存在收敛子列，仍记为

反证法 若不然，则由

时，有

知，

使

于是存在适当大的k ，使

这样便有

这与

相矛盾.

二、解答题

7． 求下列全微分的原函数：

(1) (2) (3)

【答案】(1) 由于

从而积分与路径无关，其原函数

(2)

由于故其原函数

或(3) 由即

8． 设

大值还是极小值？

【答案】

由

得方程组

故

于是在

取得极小值，在，

取得极大值。

解得

在

处都取得极值，试求a 与b ; 并问这时f 在与是取得极

易见积分与路径无关，故原式为某一函数的全微分，令

从而积分与路径无关，

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