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一、证明题

1． 利用施瓦兹不等式证明：

(1) 若在(2) 若在

上可积，则

上可积，且

则

(3) 若

都在

上可积，则有闵可夫斯基

不等式：

【答案】(1) 根据施瓦兹不等式，有

(2) 由有

(3) 由施瓦兹不等式，得

可积，且

知

可积，从而

可积，于是根据施瓦兹不等式，

故

2． 设

可微，且

在上连续，若存在常数

试证明：(1) 是

【答案】(1) 任取所以

(2)

因为

即

是上的一一映射。 因为f

在处可微，即

所以

使

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使对一切均有

上的一一映射；(2) 对一切

则

由的任意性知，

3． 若存在数c ，使得

【答案】所以数列

收敛. 由柯西收敛准则，对

，当丨收敛.

它是以0为极限的收敛数列，

而数

列

4． 用定义证明下列极限：

【答案】(1) 不妨

设

时有

由

于

故

即(2)

由不等式

得

于是取

则当

时有

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则称数列显然

存在正整数N , 当

时有

有有界变差.

证明：凡有有界变差的数列是收敛的，反之不一定成立.

单调递增且有上界，

即

于是对数列所以数列

时有

反之不一定成立. 例如数列1, 但它不是有有界变差的. 事实上，

是发散的，又是递增的，所

以不是有界的.

于

是

于是

取

则

当

故

5． 试应用

定义证明

肘，

从而对任给

取

则当

时，

所以

【答案】因为当

二、解答题

6． 应用中值定理估计积分

【答案】

由于在

使得

从而

7． 设y=y（x ）是可微函数，求

其中

将x=0代入，可解得y （0）=0, 再将x=0代入，得

8．

试求不定积分

【答案】

与

进而求出不定积分

与

的值.

上连续，据中值定理知：存

【答案】将已知等式两边对x 求导得

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