当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 证明：设f 为幂级数项，若f 为偶函数，则

【答案】由当

为奇函数时，

又

故此时有

当

为偶函数时，

又

2． 设

故此时有

证明函数

在D 上不可积.

【答案】对D 上任意分割

，若在每个取点

若在每个

取点

为非有理点，则在D 上不可积. 上可导，且上可导，且

都有在又因为

于是

第 2 页，共 38 页

在上的和函数，若f 为奇函数，则级数

仅出现奇次幂的

仅出现偶次幂的项.

使皆为有理数，则

因此的极限不存

在(当时) . 即

3． 证明：(1) 若函数f 在

(2) 若函数f (x ) 在(3) 对任意实数【答案】(1) 因为

点I

使得

则则

上满足拉格朗日中值定理的条件，所以在(a ，b ) 内至少存在一

因此

(2) 因为f (x ) 在

上满足拉格朗日中值定理的条件，所以在(a , b ) 内至少存在一点使得

又因为

(3) 当

时，结论成立. 当

于是

时，设

令

由(2) 的结论知，

4． 证明：函数

在点(0, 0) 连续且偏导数存在，但在此点不可微. 【答案】因为

从而

所以

在点(0, 0) 连续.

由偏导数定义知

同理但当

时，其值为0. 所以

所以，f (x ，y ) 在点(0, 0) 的偏导数存在.

考察不存在，故

由于当

时，

其值为

则

因此

在点(0, 0) 不可微.

5． 用区间套定理证明闭区间上连续函数的零点存在定理.

【答案】不妨设

若

取

同样，若若

有

且满足因为f (x ) 在

取

得证；

若

如此继续可得闭区间套

且

第 3 页，共 38 页

若

若

得证；

取

于是

有

取满足

于是

于是由闭区间套定理知存在惟一的

处连续，故

由于

6． 给定积分换满足

所以

作正则变换

故有

区域D 变为，如果变

证明：

【答案】利用复合函数的微分法，有

通过计算易知

注意到

可得

二、解答题

7． 求下列函数在指定点的导数：

（1）设

（2）设

（3）设.

【答案】⑴

（2）

（3）当x>0时，故

第 4 页，共 38 页

求

求

求