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一、分析计算题

1． 已知m 个向量

（1）如果等式

（2）如果存在两个等式

其中

则

【答案】（1）若的假设矛盾，从而得证

（2

）由于全不为0, 则由

则证毕. 否则总有一个k ≠0, 不失一般设

即

其中

这与任意

个都线性无关则③式成立.

若

2． 设

（1）（2

）秩秩【答案】（1）（2）由于

是k 个实对称方阵，

都是幂等方阵

秩（2）

（1）设秩

是实对称阵，∴存在正交阵T , 使

再令

而且

证明:下述二条件等价：

全不为0.

全不为0. 再看

如果

得

那么其余的都不能等于0, 否则有

由上面（1）知

，

线性相关，但其中任意

则这些

个都线性无关，证明： 或者全为0，或者全不为0;

但

其中

再用

左乘，T 右乘②式两边，得

所以秩另一方面

秩

从而秩秩

再由③、④式得

将它们代入①式得

由i 的任意性，即证A 1都是幂等阵.

3． 设K[x]为数域K 上全体多项式作成的线性空间，式作成的n 维空间，问：以下的并给出一基：

；

（f 为K 上一给定多项式）

及K 上仅含偶次项的多项式!.

【答案】多项式

都属于

为由0及K 上次数小于n 的全体多项

对多项式普通运算是否作成K 上线性空间？维数为何？

即f （x ）的所有系数之和为0, 作成K 上线性空间显然. 又显然K 上

且线性无关：因为若

于是又若于是

则即的

作成K 上线性空间显然，它是

维子空间

.

的一个子空间，又显然若

则K 即零空间，

中每个多项式都可由

线性表示，因此，

是k 上n —1维线性空间，即若

则

且M 中任意有限个多项式显然都线性无关且对任意

，则

因此，

是K 上无限维线性空间，而且可认为M 为其一基（扩大的基的概念）

.

为其一基（扩

作成线性空间显然. 而且类似d 易知，是无限维线性空间，又

大的基的概念）.

4． 设T 为线性空间V 的线性变换且

①T 的特征值是1或0; ②若1，0都是T 的特征值，

为相应特征子空间，则

【答案】①设则因为②任取反之，任取于是又显然故但显然

5． 设A ，B 都是

即又有

又

因此，故由上即得（7）.

的对称矩阵，证明：AB 也对称当且仅当A ，B 可交换.

即AB 为对称阵. 反之，当即A , B可交换.

证明：

为T 的任一特征值且

故

则

令

故则由因此，

得

且

【答案】当A , B可交换时，

时，