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一、分析计算题

1． 证明：有限维线性空间V 的任何真子空间均可表为若干个n —1维子空间的交，这里

【答案】设W 为V 的真子空间. 如如

结论显然（因为令

）.

显然，令

则

由代回式同理：

2． 设

与

，线性无关知

得

所以

为W 的基，扩成V 的基

令

是数域P 上两个线性无关的n 维向量组，证明：

的维数等于齐次线性方程组

的解空间的维数.

未知量的个数为s+t, 因而

【答案】方程组（3-30）的系数矩阵是解空间W 的维数是

由维数公式，得

这里注意到：向量组

与等价，其秩相等.

3． 设是非齐次线性方程组

证明： ⑴令则

线性无关.

（2）已知向量组_

【答案】（1）设则

用A 左乘等式两边得由

故

进而

（2）由于

的一个解，

其中或是

是导出组的一组基础解系，

，则

的解，或是AX=0的解（i=l，2，... ，s ）

代入式（3-32）注意到故

线性无关.

线性无关，立得

上式右端t+1阶方阵可逆，

故向量组

线性无关，

故

线性表示；

若

是

的解，

则

可用

线性表示，总之向量

组

与若

可

用

是

等价. 由（1

）知的解，

则

可

用

线性表示，

进而也可用

线性表示，

故

4． 设A 为正定矩阵，证明对任一正整数m , 存在唯一的正定矩阵B , 使

【答案】（1）因为A 正定，所以存在正交阵T , 使

取

（2）唯一性. 如还有设取由于

即

结合式（1）知. 所以

显有

C 正定.

且B 为正定矩阵.

由于B 为实对称矩阵，所以B 有n 个线性无关的特征向量

则

又这样有

因此

5． 设

即

是n 维欧几里得空间乂的8个单位正交向量组，

（1）证明w 是V 的欧几里得空间的子空间. （2）求W 的基和维数. （3）求w 的正交补.

【答案】（1）显然W 是V 的非空子集，有

（2）在W 中取向量组

注意到

故W 是V 的欧几里得空间的子空间. 因为

，从而有正定（当然可逆）

故有

由上式右侧矩阵的秩为

其中

所以（3）将

因为

因为

所以线性无关.

故

扩充成V 的标准正交基

是W 的基，其维数为显然

所以

6． 设

因为

线性无关，故

为A 的复系数多项式，n 阶复矩阵A 的特征根都不是

的零点. 试回答，

令

f （A ）为满秩矩阵，且f （A ）的逆矩阵可表为A 的多项式. 【答案】设

且A 的n 个特征值为所以f （A ）可逆. 又因为

则f （A ）的n

个特征值为

由假设可知