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一、分析计算题

1． 设V 是有限维向量空间，变换）. 证明：

是同构映射，dimV 是偶数.

【答案】由是

故综上所述

类似可得

有

则

（2）显然cp 保持线性运算. 若故

是单射.

由

则存在是同构映射.

由（1）得

已知A 的秩A=2.

（偶数）.

则

使

于是

则是满射，于是是双射，故由V 是有限维向量空间，

2． 设A 为三阶实对称矩阵，且满足

（1）求A 的全部特征值；

（2）当k 为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵. ，则

【答案】（1）设为A 的一个特征值，对应的特征向量为。 于是

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是V 上的两个线性变换，且有（1是恒等

则

于是

则存在

于

这

里

注

意

到

故

因为实对称矩阵A 必可对角化，且秩A=2，所以

故矩阵A 的全部特征值为

（2）解法1 矩阵A+kE仍为实对称矩阵. 由（1）知，A+kE的全部特征值为

于是当k>2时，矩阵A+kE的全部特征值大于零. 故矩阵A+kE为正定矩阵. 解法2 实对称矩阵必可对角化，故存在可逆矩阵P ，使得

于是

所以

而

又因为A+kE正定，所以其顺序主子式均大于0，即

因此，当k>2时，矩阵A+kE为正定矩阵.

3． 设

②若对角化.

②若A 可对角化，由于A 的全部特征根为逆方阵C 使

不能对角化.

4． 设3阶方阵A 的特征矩阵，

故A 与数量矩阵

相似. 因此，存在可（i

（即数量矩阵只与自身相似）这与A 有

为n 阶上三角形矩阵. 证明：

但有

则A 不能对角化.

①若A 的主对角线上元素互异，则A 可对角化；

【答案】①由A 为上三角形矩阵，其主对角线上元素即其全部特征值，又因其互异，故A 可

与等价，

（1）求的标准形；

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（2）求A 的若当标准形.

【答案】（1）由故A 的初等因子为所以

与等价知，与等价.

从而A 的不变因子为

的标准形为

（2）据A 的初等因子可得A 的若当标准形为

5． （1）证明

：

其中Y 为可逆方阵A 的伴随矩阵；

（2）设A 为实对称阵，A 的秩为r , 证明：A 可表为r 个秩为1的对称方阵之和 【答案】（1）本题中假设A 为可逆方阵，实际上对任意竹阶方阵A 都有

（i ）当A 可逆时，由于两边取行列得（ii ）当A 不可逆时，

这时秩

使

其中

为A 的全部特征值. 因为秩A=r，不防设

所以

从而也有

从而存在正交阵

其中

则秩B=l, G=1（i=l，2，…，r ）.

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