2017年海南大学信息科学技术学院829高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设线性方程组
的解都是线性方程组
的解空间分别为
的解，则（ ）。
则
所以
即证秩
2． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选故选B.
3． 设
其中A 可逆，则A.
B.
C.
D. 【答案】C 【解析】因为
=（ ）.
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
【答案】（C ） 【解析】设
4．
设是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基到
基
【答案】（A ） 5． 设
又
则（ ）•
【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得
即
由②有
为空间的两组基，且
二、分析计算题
6． 设A 是反对称矩阵，则
【答案】
同样可证
7． 设A ，B 是n 阶实对称矩阵，且B 正定，则
（1）（2）设
的根全为实根. 的根为
是正交阵.
故是正交矩阵.
且求证：在约束条件下
的最小值和最大值分别为
【答案】（1）由B 正定，A 实对称，存在实可逆矩阵P ，使得
这里
因为
所以
（2）记于是
类似可得
8． 设n 阶实矩阵
（1）（2）（3）试求A 的秩. 【答案】由，结合（2）（3）知
令不妨设程）
可得
两边消去
得
得出矛盾. 故
的根为故其根全为实根. 则约束条件
满足条件
知，从而
又因为
如则由
则存在非零向量的第一个方程（如
使
则取第k 个方
从而
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