2017年海南大学信息科学技术学院829高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选故选B.
2． 设
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于故
是
因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
的基础解系. 又由
3． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
则线性方程组（ ）•
【答案】D 【解析】 4． 若
【答案】C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
5． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
都是4维列向量，且4阶行列式
二、分析计算题
6． （1）证明：在一组基，其中
（2）在（1）中，取过渡矩阵.
【答案】（1）令
将故
线性无关. 由
（2）由
故
是基.
，中，多项式
是互不相同的数.
是全体n 次单位根，求由基
到基
是，的
代入（6-10）, 注意到时，得
则
是全体n 次单位根，则
于是
故由基1
到基
的过渡矩阵是
7． 设相似. 证明, 得阵要性因
任取
故有
是线性空间V 的两个线性变换，如有V 的可逆线性变换S ，使
则称
可
相似的充要条件是：存在可逆线性变换S ，使对V 中任一向量，由
在该基下的矩阵仍记为
中任给向量
的自然
基
.
由
【答案】取定线性空间V 的一组基. 设T ,
相似，则存在可逆矩阵S ，使如
则因
显见问题等价于矩
. 如. 可得
必
相似的充要条件是，存在可逆阵S ，使
充分性由题设，存在可逆阵S ，
对
从而有
即
可
得
所以
8． 证明:
【答案】先证第一式.
对
故得
对
时，有
从而证明了
类似地可以证明第二式.
故都有
有
且
即 有
及
于是
即
即
相似.
当
时，
有
于是
当得到